Question

某低碳節(jié)能產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費用y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點在原點的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產(chǎn)品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段，生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達到產(chǎn)銷平衡．

（1）求y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)年產(chǎn)量為x萬件時，所獲毛利潤為w萬元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求年產(chǎn)量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？（毛利潤=銷售額-生產(chǎn)費用）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法可求出y與x以及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）的表達式及毛利潤=銷售額-生產(chǎn)費用，可得出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求函數(shù)最值即可．

解答：解：圖①可得函數(shù)經(jīng)過點（100，1000），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²（a≠0），
將點（100，1000）代入得：1000=10000a，
解得：a=

1

10

，
故y與x之間的關(guān)系式為y=

1

10

x²．
圖②可得：函數(shù)經(jīng)過點（0，30）、（100，20），
設(shè)z=kx+b，則

100k+b=20 b=30

，
解得：

k=- 1 10 b=30

，
故z與x之間的關(guān)系式為z=-

1

10

x+30；
（2）年產(chǎn)量為x萬件時，生產(chǎn)費用為

1

10

x²，銷售額為：zx=（-

1

10

x+30）x=-

1

10

x²+30x，
則w=-

1

10

x²+30x-

1

10

x²=-

1

5

x²+30x=-

1

5

（x²-150x）=-

1

5

（x-75）²+1125，
當(dāng)x=75時，獲得毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元．
答：當(dāng)年產(chǎn)量為75萬件時，獲得毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意培養(yǎng)自己利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，難度一般．