Question

（2008•臨沂）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一點(diǎn)O為圓心分別與均AC，BC相切于點(diǎn)D、E．
①求⊙O的半徑；
②求sin∠BOC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，OE，根據(jù)S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC，即AC•OD+BC•OE=AC•BC即可求解；
（2）過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，在Rt△ABC與Rt△OEC中，根據(jù)勾股定理求出AB，OC，根據(jù)三角形ABC的面積等于AC•BC=AB•CF，就可以求出CF的值，就可以求出sin∠BOC的值．
解答：解：（1）連接OD，OE，設(shè)OD=r
∵AC，BC切⊙O于D，E
∴∠ODC=∠OEC=90°，OD=OE
∵S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC
∴AC•OD+BC•OE=AC•BC
即×4r+×2r=×4×2，
∴r=．
（2）過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，連接OC，
在Rt△ABC與Rt△OEC中
AB=，OC=
∵AC•BC=AB•CF
∴CF=
∴sin∠BOC=
即sin∠BOC=．
點(diǎn)評：本題考查的是切線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，運(yùn)用切線的性質(zhì)可證明四邊形ODCE正方形．根據(jù)三角形的面積的公式就可以求解．