Question

已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC變上的中線(xiàn)，分別以AC、AB所在直線(xiàn)為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）
（1）求△ABC的面積；
（2）求直線(xiàn)BD的函數(shù)關(guān)系式；
（3）直線(xiàn)BD上是否存在點(diǎn)M，使△AMC為等腰三角形？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)三角形的面積公式解答即可；
（2）因?yàn)锳B=AC=4，BD是AC邊上的中線(xiàn)，所以可得到AD=DC=2，即B（0，4），D（2，0）．
可設(shè)直線(xiàn)BD的函數(shù)關(guān)系式：y=kx+b，將B、D的坐標(biāo)代入，得到關(guān)于k、b的方程組，解之即可；
（3）因?yàn)镸在直線(xiàn)BD上，所以可設(shè)M（a，-2a+4），因?yàn)椤鰽MC為等腰三角形，所以需分情況討論：
分三種情況：
①若AM=AC，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得AM²=a²+（-2a+4）²，因?yàn)锳C²=16，所以可得到關(guān)于a的方程，解之即可；
②若MC=AC，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16，所以可得到關(guān)于a的方程，解之即可；
③若AM=MC，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²解之即可，又因M₅（2，0）點(diǎn)在AC上，構(gòu)不成三角形，所以應(yīng)舍去．

解答：解：（1）∵△ABC中∠BAC=90°，AB=AC=4，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×4×4=8；

（2）∵AB=AC=4，BD是AC邊上的中線(xiàn)，
∴AD=DC=2．
∴B（0，4），D（2，0）．                           
設(shè)直線(xiàn)BD的函數(shù)關(guān)系式：y=kx+b，
得

b=4 2k+b=0

，解得

b=4 k=-2

．                     
∴直線(xiàn)BD的函數(shù)關(guān)系式：y=-2x+4；
（3）設(shè)M（a，-2a+4）．                                 
分三種情況：
①AM=AC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴a²+（-2a+4）²=16．解得a₁=0，a₂=

16

5

．
∴M₁（0，4），M₂（

16

5

，-

12

5

）；              
②MC=AC．
∵M(jìn)C²=（4-a）²+（-2a+4）²，AC²=16．
∴（4-a）²+（-2a+4）²=16．
解得a₃=4，a₄=

4

5

，
∴M₃（4，-4），M₄（

4

5

，

12

5

）；              
③AM=MC．
∵AM²=a²+（-2a+4）²，MC²=（4-a）²+（-2a+4）²，
∴a²+（-2a+4）²=（4-a）²+（-2a+4）²，
解得a₅=2．
∴M₅（2，0），這時(shí)M₅點(diǎn)在AC上，構(gòu)不成三角形，舍去．
綜上所述，在直線(xiàn)BD上存在四點(diǎn)，即M₁（0，4），），M₂（

16

5

，-

12

5

），M₃（4，-4），M₄（

4

5

，

12

5

）符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，解決這類(lèi)問(wèn)題常用到分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．