(2009•吉林)如圖所示,菱形ABCD的邊長為6厘米,∠B=60度.從初始時(shí)刻開始,點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運(yùn)動,點(diǎn)Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到D點(diǎn)時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動,設(shè)P、Q運(yùn)動的時(shí)間為x秒時(shí),△APQ與△ABC重疊部分的面積為y平方厘米(這里規(guī)定:點(diǎn)和線段是面積為O的三角形),解答下列問題:
(1)點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是______秒;
(2)點(diǎn)P、Q從開始運(yùn)動到停止的過程中,當(dāng)△APQ是等邊三角形時(shí)x的值是______秒;
(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】分析:(1)菱形ABCD的邊長為6厘米,∠B=60°,則易證△ABC是等邊三角形,邊長是6厘米.點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇,即兩人所走的路程的和是18cm.設(shè)從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是x秒.列方程就可以求出時(shí)間.
(2)當(dāng)P在AC上,Q在AB上時(shí),AP≠AQ,則一定不是等邊三角形,當(dāng)△APQ是等邊三角形時(shí),Q一定在邊CD上,P一定在邊CB上,若△APQ是等邊三角形,則CP=DQ,根據(jù)這個相等關(guān)系,就可以得到一個關(guān)于x的方程,就可以得到x的值.
(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.應(yīng)根據(jù)0≤x<3和3≤x<6以及6≤x≤9三種情況進(jìn)行討論.把x當(dāng)作已知數(shù)值,就可以求出y.就可以得到函數(shù)的解析式.
解答:解:(1)∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC
又∵∠B=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
因而邊長是6.設(shè)點(diǎn)P,Q從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是x秒.
根據(jù)題意得到x+2x=18,解得x=6秒.

(2)若△APQ是等邊三角形,
此時(shí)點(diǎn)P在BC上,點(diǎn)Q在CD上,且△ADQ≌△ACP,
則CP=DQ,即x-6=18-2x,解得x=8;

(3)①當(dāng)0≤x<3時(shí),
y=S△AP1Q1==.(5分)
②當(dāng)3≤x<6時(shí),
y=S△AP2Q2
=
=sin60°
=
=-x(7分)
③當(dāng)6≤x≤9時(shí),設(shè)P3Q3與AC交于點(diǎn)O.
(解法一)
過Q3作Q3E∥CB交AC于E,則△CQ3E為等邊三角形.
∴Q3E=CE=CQ3=2x-12
∵Q3E∥CB
∴△COP3∽△EOQ3

∴OC=(2x-12)
y=S△AOP3
=S△ACP3-S△COP3
=sin60°
=
=-
(解法二)
如圖,過點(diǎn)O作OF⊥CP3于點(diǎn)F,OG⊥CQ3,于點(diǎn)G,
過點(diǎn)P3作P3H⊥DC交DC延長線于點(diǎn)H.
∵∠ACB=∠ACD
∴OF=OG
又CP3=x-6,CQ3=2x-12=2(x-6),
∴S△COP3=





又S△ACP3=×AC×sin60°
=
=(x-6)

=
=
=-(10分)
點(diǎn)評:本題主要考查了利用圖形的關(guān)系求函數(shù)的解析式.注意數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.
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(2)求梯形ABCD的面積.

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