Question

如圖，在⊙O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AC=AB，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCD≌△ABC？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出△PCD并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CP⊥AB時(shí)，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析   （2）當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)，△PCD≌△ABC，
（3）30°

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A與∠P都是對(duì)的圓周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；
（2）解：

當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直徑，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
∴△PCD≌△ABC；
（3）解：

∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°
∵OC=OB    ∴∠BCD=∠ABC=30°
（1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得∠A=∠P，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；
（2）由△PCD∽△ABC，可知當(dāng)PC=AB時(shí)，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；
（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度數(shù)，然后利用半徑OC=OB，等角對(duì)等邊，繼而求得答案．