8.如圖,在平面直角坐標系中,點A、B分別在x,y軸上,點D在第一象限內,DC⊥x軸于點C,AO=CD=2,AB=DA=$\sqrt{5}$,反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$(k>0)的圖象過CD的中點E.
(1)求k的值;
(2)△BFG和△DCA關于某點成中心對稱,其中點F在y軸上,試判斷點G是否在反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由.

分析 (1)先利用勾股定理計算出AC=1,再確定C點坐標,然后根據(jù)點E為CD的中點可得到點E的坐標為(3,1),則可根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求得k=3;
(2)根據(jù)中心對稱的性質得△BFG≌△DCA,所以FG=CA=1,BF=DC=2,∠BFG=∠DCA=90°,則可得到G點坐標為(1,3),然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷G點是否在函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上.

解答 解:(1)在Rt△ACD中,CD=2,AD=$\sqrt{5}$,
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=1,
∴OC=OA+AC=2+1=3,
∴D點坐標為(3,2),
∵點E為CD的中點,
∴點E的坐標為(3,1),
∴k=3×1=3;

(2)點G在反比例函數(shù)的圖象上.理由如下:
∵△BFG和△DCA關于某點成中心對稱,
∴△BFG≌△DCA,
∴FG=CA=1,BF=DC=2,∠BFG=∠DCA=90°,
而OB=AC=1,
∴OF=OB+BF=1+2=3,
∴G點坐標為(1,3),
∵1×3=3,
∴G(1,3)在反比例函數(shù)y=$\frac{3}{x}$的圖象上.

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題:掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、中心對稱的性質和三角形全等的判定與性質;會利用勾股定理進行幾何計算.

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