如圖,等邊三角形ABC中,D、E分別在AB、BC邊上,且AD=BE,AE與CD交于點F,AG⊥CD于點G.下列結(jié)論:①AE=CD;②∠AFC=120°;③△ADF是正三角形;④
FG
AF
=
1
2
.其中正確的結(jié)論是
①②④
①②④
(填所有正確答案的序號).
分析:根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC,∠BAC=∠B=60°,然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CD,判定①正確;根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ACD=∠BCE,求出∠CAF+∠ACD=60°,然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFC=120°,判定②正確;求出∠FAD<60°,判定△ADF是正三角形錯誤;求出∠AFG=60°,再求出∠FAG=30°,然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得FG=
1
2
AF,然后得到④正確.
解答:解:在等邊△ABC中,AB=AC,∠BAC=∠B=60°,
∵在△ABE和△CAD中,
AB=AC
∠BAC=∠B=60°
AD=BE
,
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴AE=CD,故①正確;

∠ACD=∠BCE,
∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°,
在△ACF中,∠AFC=180°-(∠CAF+∠ACD)=180°-60°=120°,故②正確;

∵∠FAD<∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠FAD≠60°,
∴△ADF不是正三角形,故③錯誤;

∵∠AFG=180°-∠AFC=180°-120°=60°,AG⊥CD,
∴∠FAG=90°-60°=30°,
∴FG=
1
2
AF,
FG
AF
=
1
2
,故④正確,
綜上所述,正確的有①②④.
故答案為:①②④.
點評:本題考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),熟練掌握等邊三角形和全等三角形的判定與性質(zhì),并準確識圖是解題的關(guān)鍵.
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3
x
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(1)求點B的坐標;
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FG
AF
=(  )

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[    ]

A.5   B.4    C.3   D.2

 

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