Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點A（0，﹣3），B（，），對稱軸為直線x=﹣，點P是拋物線上的一動點，過點P分別作PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，在四邊形PMON上分別截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）求證：以C、D、E、F為頂點的四邊形CDEF是平行四邊形；

（3）在拋物線上是否存在這樣的點P，使四邊形CDEF為矩形？若存在，請求出所有符合條件的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：

二次函數(shù)綜合題．

分析：

（1）利用頂點式和待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）證明△PCF≌△OED，得CF=DE；證明△CDM≌△FEN，得CD=EF．這樣四邊形CDEF兩組對邊分別對應(yīng)相等，所以四邊形CDEF是平行四邊形；

（3）根據(jù)已知條件，利用相似三角形△PCF∽△MDC，可以證明矩形PMON是正方形．這樣點P就是拋物線y=x²+x﹣3與坐標(biāo)象限角平分線y=x或y=﹣x的交點，聯(lián)立解析式解方程組，分別求出點P的坐標(biāo)．符合題意的點P有四個，在四個坐標(biāo)象限內(nèi)各一個．

解答：

（1）解：設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+）²+k，

∵點A（0，﹣3），B（，）在拋物線上，

∴，

解得：a=1，k=．

∴拋物線的解析式為：y=（x+）²=x²+x﹣3．

（2）證明：如右圖，連接CD、DE、EF、FC．

∵PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，

∴四邊形PMON為矩形，

∴PM=ON，PN=OM．

∵PC=MP，OE=ON，

∴PC=OE；

∵MD=OM，NF=NP，

∴MD=NF，

∴PF=OD．

在△PCF與△OED中，

∴△PCF≌△OED（SAS），

∴CF=DE．

同理可證：△CDM≌△FEN，

∴CD=EF．

∵CF=DE，CD=EF，

∴四邊形CDEF是平行四邊形．

（3）解：假設(shè)存在這樣的點P，使四邊形CDEF為矩形．

設(shè)矩形PMON的邊長PM=ON=m，PN=OM=n，則PC=m，MC=m，MD=n，PF=n．

若四邊形CDEF為矩形，則∠DCF=90°，易證△PCF∽△MDC，

∴，即，化簡得：m²=n²，

∴m=n，即矩形PMON為正方形．

∴點P為拋物線y=x²+x﹣3與坐標(biāo)象限角平分線y=x或y=﹣x的交點．

聯(lián)立，

解得，，

∴P₁（，），P₂（﹣，﹣）；

聯(lián)立，

解得，，

∴P₃（﹣3，3），P₄（﹣1，1）．

∴拋物線上存在點P，使四邊形CDEF為矩形．這樣的點有四個，在四個坐標(biāo)象限內(nèi)各一個，其坐標(biāo)分別為：P₁（，），P₂（﹣，﹣），P₃（﹣3，3），P₄（﹣1，1）．

點評：

本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、全等三角形、相似三角形、解方程、矩形、正方形等知識點，所涉及的考點較多，但難度均勻，是一道好題．第（2）問的要點是全等三角形的證明，第（3）問的要點是判定四邊形PMON必須是正方形，然后列方程組求解．