Question

點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且P點在x²+3y²=4（x≠±1）的圖象上，設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，則存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，那么點P的坐標為

（

5

3

，±

33

9

）

．

Answer 1

分析：設點P的坐標為（x₀，y₀），則根據函數圖象上點的坐標特征知x₀²+3y₀²=4．首先，根據點A的坐標求得點B的坐標為（1，-1）；然后，利用三角形的面積公式S=

1

2

absinC列出等式

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|•|PN|sin∠MPN．即

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

；再根據兩點間的距離公式求得

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=

5

3

．易求y₀的值．

解答：解：∵點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，∴點B的坐標為（1，-1）．
若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，設點P的坐標為（x₀，y₀），
則

1

2

|PA|•|PB|sin∠APB=

1

2

|PM|•|PN|sin∠MPN．
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

，
∴

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=

5

3

．
∵點P在x²+3y²=4（x≠±1）的圖象上，
∴x₀²+3y₀²=4，
∴y₀=±

33

9

，
∴存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時點P的坐標為（

5

3

，±

33

9

）．
故答案是：（

5

3

，±

33

9

）．

點評：本題考查了一次函數綜合題．此題涉及到的知識點有關于x、y軸對稱的點的坐標特征，函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積公式等．解題時，注意利用“數形結合”的性質，很容易得知sin∠APB=sin∠MPN．