Question

如圖，有一塊面積為4的正方形ABCD，M、N分別為AD、BC邊上的中點(diǎn)，將C點(diǎn)折至MN上，落在P點(diǎn)位置，折痕為BQ，連接PQ、PC．
（1）試判斷△PBC的形狀，并說明理由；
（2）求PM的長．

Answer 1

解：（1）△PBC是正三角形，
理由：∵正方形ABCD中，ADBC，
而，∴AMBN，
∴四邊形ABNM是平行四邊形，
∵∠A=90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴∠1=90°．
∵BN=NC，∴PB=PC，又由折疊知△BQC≌△BQP，
∴BP=BC，∴BP=PC=CB，∴△BPC是正三角形．

（2）由（1）得∠1=90°．∴∠4=90°．
∵S_{正方形ABCD}=4，∴BC=AB=2，
由（1）及△PBC是正三角形，
∴PC=BC=2，，∴．
由（1）及矩形ABNM中，MN=AB=2，∴．
分析：由BN=CN，且MN⊥BC，可得PB=PC，再利用由折疊知△BQC≌△BQP，可得三條邊相等，即為等邊三角形．
求線段的長，利用勾股定理求解直角三角形即可．
點(diǎn)評：熟練掌握正方形的性質(zhì)及等邊三角形的判定，能夠運(yùn)用勾股定理求解一些簡單的計算問題．