Question

如圖，點O是邊為2的正方形ABCD的中心，點E從A點開始沿AD邊運動，點F從D點開始沿DC邊運動，并且AE=DF．
（1）求正方形ABCD的對角線AC的長；
（2）若點E、F同時運動，連接OE、OF，請你探究：四邊形DEOF的面積S與正方形ABCD的面積關(guān)系，并求出四邊形DEOF的面積S；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)AE=x，△EOF的面積為y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并利用圖象說明當x在什么范圍時，y≥

5

8

．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)勾股定理得出AC的長．
（2）連接OD，先證△AEO≌△DFO，然后得出S_△OFD=S_△AEO，因此四邊形DEOF的面積就轉(zhuǎn)化為三角形AOD的面積．三角形AOD的面積是正方形的

1

4

，由此可求出S的值．
（3）由（2）得出的四邊形BEOF的面積，那么y=1-S_△DEF=然后用x表示出三角形DEF的面積，即可得出函數(shù)式．

解答：解：（1）在直角三角形ABC中
AC=

AB2+BC2

=2

2

．

（2）連接OD，
∵OA=OD，AE=DF，∠ODC=∠OAD=45°
∴△AEO≌△DFO
∴S_△OFD=S_△AEO則S_{四邊形DEOF}=S_△ADO
又S_△ADO=

1

4

S_{四邊形ABCD}，
∴S_{四邊形DEOF}=

1

4

S_{四邊形ABCD}=1．

（3）由（2）得：y=1-S_△DEF=1-

1

2

x（2-x）=

1

2

x²-x+1
且0≤x≤2
配方得：y=

1

2

（x-1）²+

1

2

畫圖：
令y=

5

8

時，

1

2

（x-1）²+

1

2

=

5

8

∴x₁=

1

2

，x₂=

3

2

由圖象可知：當0≤x≤

1

2

時，或

3

2

≤x≤2時y≥

5

8

．

點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題中利用全等三角形來轉(zhuǎn)化面積是解題的關(guān)鍵．