寬與長的比是
5
-1
2
的矩形叫黃金矩形．心理測試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以精英家教網(wǎng)協(xié)調(diào)，勻稱的美感．現(xiàn)將小波同學在數(shù)學活動課中，折疊黃金矩形的方法歸納如下（如圖所示）：
第一步：作一個正方形ABCD；
第二步：分別取AD，BC的中點M，N，連接MN；
第三步：以N為圓心，ND長為半徑畫弧，交BC的延長線于E；
第四步：過E作EF⊥AD，交AD的延長線于F．
請你根據(jù)以上作法，證明矩形DCEF為黃金矩形．
分析：此題首先設(shè)出正方形的邊長是2a，然后根據(jù)作圖中的方法分別用a表示出矩形的長和寬，再進一步求得它們的比值，根據(jù)黃金矩形的概念即可判斷．
解答：證明：在正方形ABCD中，取AB=2a，
∵N為BC的中點，
∴NC=
1
2
BC=a．
在Rt△DNC中，ND=
NC2+CD2
=
a2+(2a)2
=
5
a．
又∵NE=ND，
∴CE=NE-NC=（
5 
-1）a．
∴
CE
CD
=
(
5
-1)a
2a
=
5
-1
2
．
故矩形DCEF為黃金矩形．
點評：考查了黃金分割點的概念，熟記黃金比的值．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

圖1是一張寬與長之比為
5
-1
2
：1的矩形紙片，我們稱這樣的矩形為黃金矩形．同學們都知道按圖2所示的折疊方法進行折疊，折疊后再展開，可以得到一個正方形ABEF和一個矩形EFDC，那么EFDC這個矩形還是黃金矩形嗎？若是，請根據(jù)圖2證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

寬與長的比是
5
-1
2
的矩形叫黃金矩形，心理學測試表明，黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感，現(xiàn)將同學們在教學活動中，折疊黃金矩形的方法歸納出以下作圖步驟：
第一步：作一個任意正方形ABCD；
第二步：分別取AD，BC的中點M，N，連接MN；
第三步：以N為圓心，ND長為半徑畫弧，交BC的延長線于E；
第四步：過E作EF⊥AD交AD的延長線于F，
（1）請你根據(jù)以上作圖步驟畫出圖形；
（2）請證明矩形DCEF為黃金矩形，（可取AB=2）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

小明同學發(fā)現(xiàn)自己一本書的寬與長之比是黃金比約為0.618．已知這本書的長為20cm，則它的寬約為（　　）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【再讀教材】
寬與長的比是
5
-1
2
或
2
5
+1
（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形．
下面，我們用寬為4cm的矩形紙片折疊一個黃金矩形．
第一步，在矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．
第二步，如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．
第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并把它折到圖③中所示的AD處．
第四步，展平紙片，按照所得的D點折出DE，如圖④…
【問題解決】
（1）圖③中AB=
2
5
2
5
cm（保留根號）；
（2）你發(fā)現(xiàn)圖④中有幾個黃金矩形？請都寫出來，并選擇其中一個說明理由；
（3）在圖③中，連接BD，以AQ、BD為兩直角邊作直角三角形，求該直角三角形斜邊的長．

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