分析 (1)結(jié)論:△ABC是直角三角形.由△AOC∽△COB,推出∠ACO=∠OBC,由∠OBC+∠OCB=90°,推出∠ACO+∠BCO=90°,推出∠ACB=90°.(也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理證明).
(2)如圖1中,設(shè)第四象限拋物線上一點(diǎn)N(m,$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2-$\frac{8}{3}$m-$\sqrt{3}$),點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P(m,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{8}{3}$m+$\sqrt{3}$),作過(guò)B、C分別作y軸,x軸的平行線交于點(diǎn)G,連接PG.
可得S△PBC=S△PCG+S△PBG-S△BCG=$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{3}$×(-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{8}{3}$m+2$\sqrt{3}$)+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$•(3$\sqrt{3}$-m)-$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=-$\frac{3}{2}$(m-$\frac{7\sqrt{3}}{6}$)2+$\frac{121}{8}$.由此可得△PBC面積最大時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo),如圖2中,作ME⊥CG于M.由△CEM∽△BOC,OC:OB:BC=1:3:$\sqrt{10}$,推出EM:CE:CM=1:3:$\sqrt{10}$,推出EM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$CM,所以PM+$\frac{\sqrt{10}}{10}$CM=PM+ME,所以根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)PE⊥CG時(shí),PM+ME最短,由此即可解決問(wèn)題.
(3)分三種情形討論①如圖3中,當(dāng)DH=HF,HQ平分∠DHF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過(guò)點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線 是對(duì)稱軸.②如圖4中,當(dāng)DH=HF,HQ平分∠DHF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過(guò)點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線 是對(duì)稱軸.③如圖5中,當(dāng)DH=DF,DQ平分∠HDF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過(guò)點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線 是對(duì)稱軸.分別列出方程求解即可.
解答 解:(1)結(jié)論:△ABC是直角三角形.理由如下,
對(duì)于拋物線 y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2-$\frac{8}{3}$x-$\sqrt{3}$,令y=0得 $\frac{\sqrt{3}}{3}$x2-$\frac{8}{3}$x-$\sqrt{3}$=0,解得x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或3$\sqrt{3}$;令x=0得y=-$\sqrt{3}$,
∴A(-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,0),C(0,-$\sqrt{3}$),B(3$\sqrt{3}$,0),
∴OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,OC=$\sqrt{3}$,OB=3$\sqrt{3}$,
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{3}$,∵∠AOC=∠BOC,
∴△AOC∽△COB,
∴∠ACO=∠OBC,
∵∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠ACB=90°.
(也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理證明).
(2)如圖1中,設(shè)第四象限拋物線上一點(diǎn)N(m,$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2-$\frac{8}{3}$m-$\sqrt{3}$),點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P(m,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{8}{3}$m+$\sqrt{3}$),作過(guò)B、C分別作y軸,x軸的平行線交于點(diǎn)G,連接PG.
∵G(3$\sqrt{3}$,-$\sqrt{3}$),
∴S△PBC=S△PCG+S△PBG-S△BCG=$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{3}$×(-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m2+$\frac{8}{3}$m+2$\sqrt{3}$)+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$•(3$\sqrt{3}$-m)-$\frac{1}{2}$×$3\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=-$\frac{3}{2}$(m-$\frac{7\sqrt{3}}{6}$)2+$\frac{121}{8}$.
∵-$\frac{3}{2}$<0,
∴當(dāng)m=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$時(shí),△PBC的面積最大,
此時(shí)P($\frac{7\sqrt{3}}{6}$,$\frac{11\sqrt{3}}{4}$),
如圖2中,作ME⊥CG于M.
∵CG∥OB,
∴∠OBC=∠ECM,∵∠BOC=∠CEM,
∴△CEM∽△BOC,
∵OC:OB:BC=1:3:$\sqrt{10}$,
∴EM:CE:CM=1:3:$\sqrt{10}$,
∴EM=$\frac{\sqrt{10}}{10}$CM,
∴PM+$\frac{\sqrt{10}}{10}$CM=PM+ME,
∴根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)PE⊥CG時(shí),PM+ME最短,
∴PM+$\frac{\sqrt{10}}{10}$MC的最小值為$\frac{11\sqrt{3}}{4}$+$\sqrt{3}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$.
(3)存在.理由如下,
①如圖3中,當(dāng)DH=HF,HQ平分∠DHF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過(guò)點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線 是對(duì)稱軸.
作CG⊥HK于G,PH∥x軸,EP⊥PH于P.
∵FH∥CK,K($\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$,-$\frac{25}{9}$$\sqrt{3}$),
易知CG:GK:CK=3:4:5,
由△EPH∽△KGC,得PH:PE:EH=3:4:5,設(shè)E((n,$\frac{\sqrt{3}}{3}$n2-$\frac{8}{3}$n-$\sqrt{3}$),則HE=$\frac{5}{3}$(n-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$),PE=$\frac{4}{3}$(n-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$),
∵DH=HF,
∴$\sqrt{3}$+[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$n2+$\frac{8}{3}$n+$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$(n-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$)]=$\frac{5}{3}$(n-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$)+$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$,
解得n=$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{471}}{6}$或$\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{471}}{6}$(舍棄).
②如圖4中,當(dāng)DH=HF,HQ平分∠DHF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過(guò)點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線 是對(duì)稱軸.
同法可得[$\frac{\sqrt{3}}{3}$n2-$\frac{8}{3}$n-$\sqrt{3}$+$\frac{4}{3}$(n-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$)]-$\sqrt{3}$=$\frac{5}{3}$(n-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$)+$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$,
解得n=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{591}}{6}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{591}}{6}$(舍棄).
③如圖5中,當(dāng)DH=DF,DQ平分∠HDF時(shí),以點(diǎn)F、H、D、Q為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形,且過(guò)點(diǎn)Q的對(duì)角線所在的直線 是對(duì)稱軸.
設(shè)DQ交HF于M.由△DHM∽△CKG,可知HM:DH=4:5,
$\frac{1}{2}$[$\frac{5}{3}$(n-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$)+$\frac{5}{3}$$\sqrt{3}$]:[$\frac{\sqrt{3}}{3}$n2-$\frac{8}{3}$n-$\sqrt{3}$+$\frac{4}{3}$(n-$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$)-$\sqrt{3}$]=4:5,
解得n=$\frac{19\sqrt{3}}{16}$+$\frac{\sqrt{33459}}{48}$或=$\frac{19\sqrt{3}}{16}$-$\frac{\sqrt{33459}}{48}$(舍棄),
綜上所,滿足條件的點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為$\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{471}}{6}$或$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{591}}{6}$或$\frac{19\sqrt{3}}{16}$+$\frac{\sqrt{33459}}{48}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí),學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問(wèn)題,學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | 4.5 | 3.5 | 2.5 | 1.5 | 0.5 | … |
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com