Question

已知關于x的一元二次方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0的一個根為1．
（1）求a的值；
（2）若m、n（m＜n）是此方程的兩根，直線l：y=mx+n交x軸于點A，交y軸于點B，坐標原點O關于直線l的對稱點O′在反比例函數y=

k

x

的圖象上，求反比例函數y=

k

x

的解析式．
（3）將直線l繞點A逆時針旋轉角θ（0°＜θ＜90°），得到直線l′，l′交y軸于點P，過點P作x軸的平行線，與（2）中的反比例函數y=

k

x

的圖象交于點Q，當APQO′的面積為9-

3 3

2

時，求角θ的值．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）根據方程解的定義把x=1代入（a-1）x²+（2-3a）x+3=0得到關于a的一次方程，然后解方程可得到a=2；
（2）先解方程x²-4x+3=0得到m=1，n=3，再確定直線l：y=x+3與坐標的交點A的坐標為（-3，0），交點B的坐標為（0，3），然后根據對稱的性質易得
四邊形AOBO′為正方形，所以O′點的坐標為（-3，3），再把O′點的坐標代入y=

k

x

求出k即可得到反比例函數解析式；
（3）設P點坐標為（0，t），延長AO′交直線PQ于E點，則表示出E點坐標為（-3，t），Q點坐標為（-

9

t

，t），再利用S_{四邊形APQO′}=S_△APE-S_△O′QE得到

1

2

•3•t-

1

2

•（t-3）•（-

9

t

+3）=9-

3 3

2

，解出t=3

3

，然后利用銳角三角函數求出∠PAO=60°，而∠BAO=45°，所以∠PAB=15°，即∠θ=15°．

解答：解：（1）把x=1代入（a-1）x²+（2-3a）x+3=0得a-1+2-3a+3=0，
解得a=2；
（2）把a=2代入方程得到x²-4x+3=0，解得m=1，n=3，
∵直線l的解析式為y=x+3，則A點坐標為（-3，0），B點坐標為（0，3），
∴OA=OB，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∵原點O與點O′關于AB對稱，
∴四邊形AOBO′為正方形，
∴O′點的坐標為（-3，3），
把O′（-3，3）代入y=

k

x

得k=-3×3=-9，
∴反比例函數解析式為y=-

9

x

；
（3）如圖，設P點坐標為（0，t），延長AO′交直線PQ于E點，
則E點坐標為（-3，t），Q點坐標為（-

9

t

，t），
∵S_{四邊形APQO′}=S_△APE-S_△O′QE，
∴

1

2

•3•t-

1

2

•（t-3）•（-

9

t

+3）=9-

3 3

2

，
∴t=3

3

，
∴OP=3

3

，
∴tan∠PAO=

PO

OA

=

3 3

3

=

3

，
∴∠PAO=60°，
而∠BAO=45°，
∴∠PAB=60°-45°=15°，
即角θ的值為15°．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、正方形的判定與性質；熟練運用三角形面積公式和銳角三角函數進行計算．