Question

如圖，已知拋物線y=a（x-1）²+3

3

（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），拋物線的頂點(diǎn)為D，過O作射線OM∥AD．過頂點(diǎn)平行于x軸的直線交射線OM于點(diǎn)C，B在x軸正半軸上，連接BC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個長度單位的速度沿射線OM運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t（s）．問當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DAOP分別為平行四邊形，直角梯形，等腰梯形？
（3）若OC=OB，動點(diǎn)P和動點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)它們的運(yùn)動的時(shí)間為t（s），連接PQ，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCPQ的面積最��？并求出最小值及此時(shí)PQ的長．

Answer 1

分析：（1）將A的坐標(biāo)代入拋物線y=a（x-1）²+3

3

（a≠0）可得a的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）易得D的坐標(biāo)，過D作DN⊥OB于N；進(jìn)而可得DN、AN、AD的長，根據(jù)平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質(zhì)，用t將其中的關(guān)系表示出來，并求解可得答案；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，易得△OCB是等邊三角形，可得BQ、PE關(guān)于t的關(guān)系式，將四邊形的面積用t表示出來，進(jìn)而分析可得最小值及此時(shí)t的值，進(jìn)而可求得PQ的長．

解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-1）²+3

3

（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），
∴0=9a+3

3

，
∴a=-

3

3

（1分）
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

8 3

3

；（3分）

（2）①∵D為拋物線的頂點(diǎn)，
∴D（1，3

3

），
過D作DN⊥OB于N，則DN=3

3

，AN=3，
∴AD=

32+(3 3 )2

=6，
∴∠DAO=60°．（4分）
∵OM∥AD，
①當(dāng)AD=OP時(shí)，四邊形DAOP是平行四邊形，
∴OP=6，
∴t=6（s）．（5分）
②當(dāng)DP⊥OM時(shí)，四邊形DAOP是直角梯形，
過O作OH⊥AD于H，AO=2，則AH=1（如果沒求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）
∴OP=DH=5，t=5（s）（6分）
③當(dāng)PD=OA時(shí)，四邊形DAOP是等腰梯形，
易證：△AOH≌△DPP′，
∴AH=CP，
∴OP=AD-2AH=6-2=4，
∴t=4（s）綜上所述：當(dāng)t=6、5、4時(shí)，對應(yīng)四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形；（7分）

（3）由（2）及已知，∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等邊三角形則OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，
∴OQ=6-2t（0＜t＜3）過P作PE⊥OQ于E，
則PE=

3

2

t（8分）
∴S_BCPQ=

1

2

×6×3

3

-

1

2

×（6-2t）×

3

2

t
=

3

2

（t-

3

2

）²+

63

8

3

（9分）
當(dāng)t=

3

2

時(shí)，四邊形BCPQ的面積最小值為

63

8

3

．（10分）
∴此時(shí)OQ=3，OP=

3

2

，OE=

3

4

；
∴QE=3-

3

4

=

9

4

，PE=

3 3

4

，
∴PQ=

PE2+QE2

=

( 3 3 4 )2+( 9 4 )2

=

3 3

2

．（11分）

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．