Question

（2013•金平區(qū)模擬）如圖，直線l：y=-2x+4交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B點(diǎn)，四邊形OACD為正方形，點(diǎn)P從D點(diǎn)開(kāi)始沿x軸向點(diǎn)O以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA向點(diǎn)A以每秒

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個(gè)單位的速度移動(dòng)，如果P，Q分別從D，B同時(shí)出發(fā)．
（1）設(shè)△PAQ的面積等于S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q移到AB的中點(diǎn)E時(shí)，P點(diǎn)停止移動(dòng)．直線l向右平移m個(gè)單位，得到直線l₁．
如圖，直線l₁交y軸于A₁點(diǎn)，交x軸于B₁點(diǎn)，Q₁為A₁B₁的中點(diǎn)．△PAQ₁的面積S₁是否與m的值有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：（1）先求出A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，DP=2t，BQ=

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t，在Rt△AOB中，求出AB的長(zhǎng)度，作QF⊥OB于F，結(jié)合題干條件，證明△QFB∽△AOB，用t表示出QF，S=S_△PBA-S_△PBQ，進(jìn)而求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）方法一、設(shè)OD的中點(diǎn)為G，則當(dāng)點(diǎn)Q移到AB的中點(diǎn)E時(shí)，P點(diǎn)與G點(diǎn)重合，△PAQ₁的面積即為△GAQ₁，利用題干條件求出△GAQ₁的面積是個(gè)常數(shù)即可；
方法二：作Q₁M⊥OB₁于M，根據(jù)題干條件用m分別表示出OB₁、OA₁、MB₁、OM，再根據(jù)S₁=S_△AOB+S_梯形AOMQ1-S_△GMQ1，求出S₁是一個(gè)常數(shù)即可；

解答：解：（1）∵直線l：y=-2x+4交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B點(diǎn)，
∴A（0，4），B（2，0）
∴OA=4，OB=2，
依題意，得OD=OA=4，
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，DP=2t，BQ=

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t，
∴PB=DB-DP=6-2t，
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=2

5

，
作QF⊥OB于F，
∵AO⊥OB，
∴AO∥QF，
∴△QFB∽△AOB，
∴

QF

AO

=

BQ

AB

，
∴QF=

BQ

AB

×AO=2t，
S=

1

2

PB•OA-

1

2

PB•QF=

1

2

PB(OA-QF)，
∴S=S_△PBA-S_△PBQ=

1

2

×(6-2t)×(4-2t)，
∴S=2t²-10t+12．

（2）△PAQ₁的面積S₁與m的值無(wú)關(guān)，S₁=4．理由如下：
設(shè)OD的中點(diǎn)為G，則當(dāng)點(diǎn)Q移到AB的中點(diǎn)E時(shí)，P點(diǎn)與G點(diǎn)重合，
△PAQ₁的面積即為△GAQ₁．
解法一：∵Q₁為A₁B₁的中點(diǎn)，
∴OQ₁=B₁Q₁，
∴∠B₁OQ₁=∠OB₁Q₁，
∵l∥l₁，
∴∠ABO=∠OB₁Q₁，
∵OG=OB=2，AO⊥OB，
∴AG=AB，
∴∠ABO=∠AGO，
∴∠B₁OQ₁=∠AGO，
∴AG∥OQ₁，
∴△PAQ₁的面積S₁=S_△AGO=

1

2

×OG•OA=4，
∴S₁的值為4，與m的值無(wú)關(guān)．
解法二：依題意，得OB₁=2+m，
∵l∥l₁，
∴△A₁0B₁∽△AOB，
∴

OA1

OB1

=

OA

OB

，
∴OA1=

OA

OB

×OB1=

4

2

×(2+m)=4+2m，
如圖，作Q₁M⊥OB₁于M，
∵AO⊥OB，
∴AO∥Q₁M，
∵Q₁為A₁B₁的中點(diǎn)，
∴MB1=

1

2

OB1=1+

1

2

m，Q1M=

1

2

OA1=2+m，
∴OM=OB1-B1M=1+

1

2

m，
∴S₁=S_△AOB+S_梯形AOMQ1-S_△GMQ1
=

1

2

×2×4+

1

2

(4+2+m)(

1

2

+m)-

1

2

(2+1+

1

2

m)(2+m)
=4                                               
∴S₁的值為4，與m的值無(wú)關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)的綜合題的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)以及分割法求三角形的面積，此題難度較大，特別是第二問(wèn)證明S1的面積是一個(gè)常數(shù)，但是解答此問(wèn)的時(shí)候也不止一種方法，希望同學(xué)們根據(jù)自己喜歡的方法解答即可．