Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．
（1）若a=1，拋物線頂點(diǎn)為A，它與x軸交于兩點(diǎn)B，C，且△ABC為等邊三角形，求b的值；
（2）若abc=4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將（1，2）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，聯(lián)立a=1，可得出b、c之間的關(guān)系式．如果△ABC是等邊三角形，那么倍BC的長正好是A點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值，聯(lián)立b、c的關(guān)系式可求出b的值．
（2）易知：b+c=2-a，bc=，可將b、c看做是一元二次方程x²-（2-a）x+=0的兩實(shí)根，那么可根據(jù)△≥0，求得a的大致取值范圍為a≥4．由于abc=4＞0，且a≥b≥c，
則說明①a、b、c均大于0，由于a≥4，如果三數(shù)均為正數(shù)，顯然a+b+c＞4≠2，因此不合題意．
②a正，b、c為負(fù)，那么此時(shí)|a|+|b|+|c|=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2，根據(jù)得出的a的取值范圍，即可求出|a|+|b|+|c|的最小指．
解答：解：（1）由題意，a+b+c=2，
∵a=1，
∴b+c=1
拋物線頂點(diǎn)為A（-，c-）
設(shè)B（x₁，0），C（x₂，0），
∵x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，△=b²-4c＞0
∴|BC|=|x₁-x₂|===
∵△ABC為等邊三角形，
∴-c=
即b²-4c=2•，
∵b²-4c＞0，
∴=2，
∵c=1-b，
∴b²+4b-16=0，b=-2±2
所求b值為-2±2．

（2）∵a≥b≥c，若a＜0，則b＜0，c＜0，a+b+c＜0，與a+b+c=2矛盾．
∴a＞0．
∵b+c=2-a，bc=
∴b，c是一元二次方程x²-（2-a）x+=0的兩實(shí)根．
∴△=（2-a）²-4×≥0，
∴a³-4a²+4a-16≥0，即（a²+4）（a-4）≥0，故a≥4．
∵abc＞0，
∴a，b，c為全大于0或一正二負(fù)．
①若a，b，c均大于0，
∵a≥4，與a+b+c=2矛盾；
②若a，b，c為一正二負(fù)，則a＞0，b＜0，c＜0，
則|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-（2-a）=2a-2，
∵a≥4，
故2a-2≥6
當(dāng)a=4，b=c=-1時(shí)，滿足題設(shè)條件且使不等式等號成立．
故|a|+|b|+|c|的最小值為6．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用及不等式的相關(guān)知識．