Question

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，P為AB的中點，Q為邊CD上一動點，設(shè)DQ＝t（0≤t≤2），線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點M、N，過Q作QE⊥AB于點E，過M作MF⊥BC于點F．

    （1）當(dāng)t≠1時，求證：△PEQ≌△NFM；

    （2）順次連接P、M、Q、N，設(shè)四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值．

 

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形

∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB

∵QE⊥AB，MF⊥BC

∴∠AEQ＝∠MFB＝90°

        ∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形

        ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE

        又∵PQ⊥MN

∴∠EQP＝∠FMN

又∵∠QEP＝∠MFN＝90°

∴△PEQ≌△NFM．

   （2）∵點P是邊AB的中點，AB＝2，DQ＝AE＝t

∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2

由勾股定理，得PQ＝＝

∵△PEQ≌△NFM

∴MN＝PQ＝

又∵PQ⊥MN

∴S＝＝＝t²－t＋

∵0≤t≤2

∴當(dāng)t＝1時，S_最小值＝2．

綜上：S＝t²－t＋，S的最小值為2．