Question

如圖，拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且x₁＞x₂，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），其中x₁，x₂是方程x²-2x-8=0的兩個根．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CP，當(dāng)△CPE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）探究：若點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上的點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使△QBC成為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵x²-2x-8=0，∴（x-4）（x+2）=0．
∴x₁=4，x₂=-2．
∴A（4，0），B（-2，0）．
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

c=4 16a+4b+c=0 4a-2b+c=0

．
∴

a=- 1 2 b=1 c=4

．
∴所求拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+x+4．

（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G．
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)A坐標(biāo)（4，0），
∴AB=6，BP=m+2．
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC．
∴

BP

AB

=

EG

CO

．
∴

EG

4

=

m+2

6

∴EG=

2m+4

3

．
∴S_△CPE=S_△CBP-S_△EBP
=

1

2

BP•CO-

1

2

BP•EG
∴S_△CPE=

1

2

（m+2）（4-

2m+4

3

）
=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

．
∴S_△CPE=-

1

3

（m-1）²+3．
又∵-2≤m≤4，
∴當(dāng)m=1時(shí)，S_△CPE有最大值3．
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．

（3）存在Q點(diǎn)，
∵BC=2

5

，
設(shè)Q（1，n），
當(dāng)BQ=CQ時(shí)，
則3²+n²=1²+（n-4）²，
解得：n=1，
即Q₁（1，1）；
當(dāng)BC=BQ=2

5

時(shí)，9+n²=20，
解得：n=±

11

，
∴Q₂（1，

11

），Q₃（1，-

11

）；
當(dāng)BC=CQ=2

5

時(shí)，1+（n-4）²=20，
解得：n=4±

19

，
∴Q₄（1，4+

19

），Q₅（1，4-

19

）．
綜上可得：坐標(biāo)為Q₁（1，1），Q₂（1，

11

），Q₃（1，-

11

），Q₄（1，4+

19

），Q₅（1，4-

19

）．