Question

【題目】在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M ， BC邊交x軸于點N（如圖）．

（1）求邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；
（2）旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉的度數；
（3）設△MBN的周長為p ， 在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，直線y=x與y軸的夾角是45°，

∴OA旋轉了45°．

∴OA在旋轉過程中所掃過的面積為

（2）

解：∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．

∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON= （∠AOC-∠MON）= （90°-45°）=22.5°．

∴旋轉過程中，當MN和AC平行時，正方形OABC旋轉的度數為45°-22.5°=22.5°．

（3）

解：在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化．

證明：延長BA交y軸于E點，

則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

∴△OAE≌△OCN．

∴OE=ON，AE=CN．

又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

∴在旋轉正方形OABC的過程中，p值無變化．

【解析】（1）根據扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉過程中所掃過的面積；（2）解決本題需利用全等，根據正方形一個內角的度數求出∠AOM的度數；（3）利用全等把△MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關的式子．