Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（0，3），且當(dāng)x=1時，y有最小值2．

（1）求a，b，c的值
（2）設(shè)二次函數(shù)y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k為實數(shù)），它的圖象的頂點為D．
①當(dāng)k=1時，求二次函數(shù)y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象與x軸的交點坐標(biāo)；
②請在二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上各找出一個點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關(guān)于x軸對稱，直接寫出點M，N的坐標(biāo)（點M在點N的上方）；
③過點M的一次函數(shù)y=﹣x+t的圖象與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于另一點P，當(dāng)k為何值時，點D在∠NMP的平分線上？
④當(dāng)k取﹣2，﹣1，0，1，2時，通過計算，得到對應(yīng)的拋物線y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的頂點分別為（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），請問：頂點的橫、縱坐標(biāo)是變量嗎？縱坐標(biāo)是如何隨橫坐標(biāo)的變化而變化的？

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)y=a（x﹣1）2+2，將（0，3）代入，得a=1，

∴y=（x﹣1）2+2，即y=x2﹣2x+3，

∴a=1，b=﹣2，c=3

（2）

解：①當(dāng)k=1時，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得x=2±，即圖象與x軸的交點坐標(biāo)（2+，0），（2﹣，0）；

②y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）當(dāng)經(jīng)x=﹣1時，y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關(guān)于x軸對稱，

∴M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6），

③y=﹣x+t，經(jīng)過（﹣1，6），得t=，

∴y=﹣x+，則A（7，0），

∵M(jìn)N⊥x軸，

∴E點的橫坐標(biāo)為﹣1，

∴AE=8，

∵M(jìn)E=6，

∴MA=10．

如圖1，設(shè)MD交AE于點B，作BC⊥AM于點C，

∵M(jìn)D平分∠NMP，MN⊥x軸，

∴BC=BE，設(shè)BC=x，則AB=8﹣x，顯然△ABC∽△AME，

∴=，則x=3．得點B（2，0），

∴MD的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣2x+4．

∵y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）=﹣[x﹣（k+1）]2+（k+1）2+2k﹣3．

把D（k+1，k2+2k+1+2k﹣3），代入y=﹣2x+4．得k=﹣3±，

由y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）有意義可得k=﹣3+，

④是．

當(dāng)頂點的橫坐標(biāo)大于﹣1時，縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而增大，

當(dāng)頂點的橫坐標(biāo)小于﹣1時，縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而減�。�

【解析】（1）利用頂點式的解析式求解即可；
（2））①當(dāng)k=1時，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得x的值，即可得出圖象與x軸的交點坐標(biāo)；
②y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）當(dāng)經(jīng)x=﹣1時，y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關(guān)于x軸對稱，可得M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）；
③由y=﹣+t，經(jīng)過（﹣1，6），可得t的值，由MN⊥x軸，可得E點的橫坐標(biāo)為﹣1，可得出AE，ME，MA的值．設(shè)MD交AE于點B，作BC⊥AM于點C，設(shè)BC=x，則AB=8﹣x，顯然△ABC∽△AMN，可求出x的值，即可得出MD的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣2x+4．再把點D代入，即可求出k的值；
④觀察可得出當(dāng)頂點的橫坐標(biāo)大于﹣1時，縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而增大，當(dāng)頂點的橫坐標(biāo)小于﹣1時，縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)的增大而減小．