Question

【題目】如圖，直線(xiàn)y＝﹣2x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y＝ax2+x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)如圖，點(diǎn)E是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BEC面積最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值？

(3)在(2)的結(jié)論下，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M，連接AM，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣2x2+x+3；(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(，)時(shí)，△BEC的面積最大，最大面積是；(3)在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣，2)．

【解析】

（1）首先根據(jù)直線(xiàn)y＝﹣2x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0）；然后根據(jù)拋物線(xiàn)y＝ax2+x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，求出a、c的值是多少，即可求出拋物線(xiàn)的解析式．

（2）首先過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線(xiàn)EF交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F，然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x，﹣2x2+x+3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，﹣2x+3），求出EM的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法，求出S△ABC，進(jìn)而判斷出當(dāng)△BEC面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值各是多少即可．

（3）在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可．

(1)∵直線(xiàn)y＝﹣2x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0，3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(，0)，

∵拋物線(xiàn)y＝ax2+x+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，

∴，

解得，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣2x2+x+3；

(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線(xiàn)EF交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)E是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(x，﹣2x2+x+3)，

則點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，﹣2x+3)，

∴EM＝﹣2x2+x+3﹣(﹣2x+3)＝﹣2x2+3x，

∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC

＝EMOC

＝×(﹣2x2+3x)×

＝﹣(x﹣)2+，

∴當(dāng)x＝時(shí)，即點(diǎn)E的坐標(biāo)是(，)時(shí)，△BEC的面積最大，最大面積是；

(3)在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

①如圖2，AM∥PQ，AM＝PQ．

由(2)，可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是，

∵點(diǎn)M在直線(xiàn)y＝﹣2x+3上，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(，)，

又∵拋物線(xiàn)y＝﹣2x2+x+3的對(duì)稱(chēng)軸是x＝，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，﹣2x2+x+3)，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣1，0)，

∴xP﹣xA＝xQ﹣xM，x﹣(﹣1)＝﹣，

解得x＝﹣，

此時(shí)P(﹣，﹣3)；

②如圖3，由(2)知，可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是，

∵點(diǎn)M在直線(xiàn)y＝﹣2x+3上，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(，)，

又∵拋物線(xiàn)y＝﹣2x2+x+3的對(duì)稱(chēng)軸是x＝，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，﹣2x2+x+3)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣1，0)，

∴xQ﹣xA＝xP﹣xM，即﹣(﹣1)＝x﹣，

解得x＝2，

此時(shí)P(2，﹣3)；

③如圖4，由(2)知，可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是，

∵點(diǎn)M在直線(xiàn)y＝﹣2x+3上，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是(，)，

又∵拋物線(xiàn)y＝﹣2x2+x+3的對(duì)稱(chēng)軸是x＝，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，﹣2x2+x+3)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣1，0)，

∴xP﹣xA＝xM﹣xQ，即x﹣(﹣1)＝﹣，

解得x＝﹣，

此時(shí)P(﹣，2)；

綜上所述，在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣，2)．