Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA，向點(diǎn)A以的速度勻速運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C以的速度勻速運(yùn)動，已知兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為．

（1）連結(jié)P、Q兩點(diǎn)，則線段PQ長的取值范圍是________；

（2）當(dāng)cm時，求t的值；

（3）若在線段CD上有一點(diǎn)E，cm，連結(jié)AC和PE．請問是否存在某一時刻使得AC平分PE？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t的值為2或；（3）存在某一時刻使得AC平分PE，此時t的值為4．

【解析】

（1）先確認(rèn)線段PQ取最大值與最小值時點(diǎn)P、Q的位置，再根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求解即可；

（2）先根據(jù)勾股定理求出FQ的長，再根據(jù)分兩種情況：點(diǎn)Q在點(diǎn)F左側(cè)和點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè)，然后根據(jù)圖中的建立方程求解即可得；

（3）當(dāng)AC平分PE時，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，然后分點(diǎn)Q在點(diǎn)E左側(cè)和點(diǎn)Q在點(diǎn)E右側(cè)，分別建立方程求解即可得．

（1）四邊形ABCD中，

四邊形ABCD是直角梯形

由題意可知，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處，點(diǎn)Q在點(diǎn)D處時，線段PQ取得最大值BD；當(dāng)時，線段PQ取得最小值，此時

如圖1，過點(diǎn)A作，連接BD，則四邊形ABCM是矩形

則線段PQ長的取值范圍是

故答案為：；

（2）點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A所需時間為；點(diǎn)Q運(yùn)動到C所需時間為

由題意得，

如圖2，過點(diǎn)P作，則四邊形BCFP是矩形

因，則分以下兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F左側(cè)時，

即，解得，符合題意

②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè)時，即點(diǎn)Q在點(diǎn)處

則，解得，符合題意

綜上，t的值為2或；

（3）存在某一時刻使得AC平分PE，求解過程如下：

如圖3，設(shè)AC與PE相交于點(diǎn)O

當(dāng)AC平分PE時，

在和中，

由題意，分以下兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)E左側(cè)時，

即，解得，符合題意

②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)E右側(cè)時，即點(diǎn)Q在點(diǎn)處，

則，解得，不符題意，舍去

綜上，存在某一時刻使得AC平分PE，此時t的值為4．