Question

（2013•相城區(qū)模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°； AD∥BC，BC=BD=5cm，CD=

10

cm．點P由B出發(fā)沿B方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交BD于Q，連接PE．若設運動時間為t（s）（0＜t＜2.5）．解答下列問題：
（1）AD的長為

4

：
（2）當t為何值時，PE∥AB？
（3）設△PEQ的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關系式；
（4）連接PF，在上述運動過程中，試判斷PE、PF的大小關系并說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點D作DF⊥BC于點M，利用勾股定理求出AD的長即可；
（2）利用PE∥AB，得出

DE

DA

=

DP

BD

，進而求出t的值；
（3）首先得出Rt△ABD～Rt△GED，則

AB

BD

=

GE

DE

，得出GE=

3

5

t，PQ=5-2t，即可得出y與t的函數(shù)關系式；
（4）根據(jù)DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，得出△PDE≌△FBP（SAS），即可得出答案．

解答：解：（1）過點D作DF⊥BC于點M，設BM=x，DM=y，則
BM²+DM²=BD²，DM²+MC²=CD²，
∴x²+y²=5²①，y²+（5-x）²=（

10

）²②，
把①代入②得：
x=4，
即AD=4；

（2）∵PE∥AB，
∴

DE

DA

=

DP

BD

，
而DE=t，DP=10-t，
∴

t

4

=

5-t

5

，
解得：t=

20

9

，
∴當t=

20

9

時，PE∥AB；

（3）如圖2，過點E作EG⊥BD于點G，
∵∠A=∠EGD=90°，∠EDG=∠BDA，
∴Rt△ABD～Rt△GED，
∴

AB

BD

=

GE

DE

，
∵BD=5，AB=3，ED=t，
∴GE=

3

5

t，
∵PQ=5-2t，
∴y=

1

2

×（5-2t）×

3

5

t=-

3

5

t²+

3

2

t；

（4）連接PF，如圖2，在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴

DE=BP ∠EDP=∠PBF PD=BF

，
∴△PDE≌△FBP（SAS），
∴PE=PF．
故答案為：4．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定和勾股定理等知識，利用數(shù)形結合得出Rt△ABD～Rt△GED，進而表示出GE的長是解題關鍵．