Question

已知：如圖，拋物線 （）與軸交于點(diǎn)( 0 ，4) ，與軸交于點(diǎn)， ，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 4 ，0）.

(1) 求該拋物線的解析式;

(2) 點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作∥，交于點(diǎn)，連接. 當(dāng)的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若平行于軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2 ，0）. 問: 是否存在這樣的直線 ，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：（1）

 ∵拋物線（）與軸交于點(diǎn)( 0 ，4)，與軸交于點(diǎn)（ 4 ，0）

∴   解得

∴該拋物線的解析式為 

 （2）

 令，則 ，解得，， 

∴   ∴ ，，

設(shè)，的面積用表示，

方法一

∵ ∥

∴   ， 即

∴       

過點(diǎn)作，垂足為

在Rt中，

在Rt中   

∴

∴ 當(dāng)時(shí)，的面積最大是3，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（1 ，0）

解法二

  ，

過點(diǎn)作，垂足為，則∥

∴

∵∥

∴

∴  即

∴

∴

∴

∴ 當(dāng)時(shí)，的面積最大是3，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（1 ，0）

（3）

  ① 當(dāng)為底邊時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，又點(diǎn)在直線上，直線的解析式為，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3），所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，，代入，得點(diǎn)的坐標(biāo)為（，3）或（，3）

②當(dāng)為腰，為頂角時(shí)，此時(shí)點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線的交點(diǎn)，有兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)（4，0）與點(diǎn)重合，舍去，點(diǎn)（2，2），所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，，代入，得點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2）或（，2）

③當(dāng)為腰，為頂角時(shí)，此時(shí)點(diǎn)應(yīng)是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線的交點(diǎn)，但是點(diǎn)到的距離為，所以不存在滿足條件的點(diǎn).