Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=

1

，點(diǎn)Q到AC的距離是

8

5

；
（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中，將△APQ的面積S用關(guān)于t的代數(shù)式來表示；（不必寫出t的取值范圍）
（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t所有可能的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得CP=2，則可得AP=1，過點(diǎn)Q作QF⊥AC與F，則可得QF∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，易得AQ：AB=QF：BC，又由勾股定理求得BC的長(zhǎng)，即可求得QF的長(zhǎng)，即點(diǎn)Q到AC的距離；
（2）過點(diǎn)Q作QF⊥AC于點(diǎn)F，AQ=CP=t，即可得AP=3-t，QF∥BC，可得△AQF∽△ABC，又由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得QF的長(zhǎng)，繼而求得△APQ的面積；
（3）分別從當(dāng)DE∥QB時(shí)與當(dāng)PQ∥BC時(shí)，去分析求解，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）如圖1：過點(diǎn)Q作QF⊥AC于F，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴QF∥BC，BC=

AB2-AC2

=4，
∴AQ：AB=QF：BC，
∵t=2，
∴AQ=2，CP=2，
∴AP=AC-CP=3-2=1，
∴2：5=QF：4，
∴QF=

8

5

，
故答案為：1，

8

5

；

（2）如圖2，過點(diǎn)Q作QF⊥AC于點(diǎn)F，AQ=CP=t，
∴AP=3-t，QF∥BC，
∴△AQF∽△ABC，
∴

QF

BC

=

AQ

AB

，
即

QF

4

=

t

5

，
∴QF=

4

5

t，
∴S=

1

2

AP•QF=

1

2

×（3-t）×

4

5

t=-

2

5

t²+

6

5

t，
即S=-

2

5

t²+

6

5

t；

（3）能．
①當(dāng)DE∥QB時(shí)，如圖3．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．
此時(shí)∠AQP=90°．
∴∠AQP=∠C=90°，∠A是公共角，
∴△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

3

=

3-t

5

． 
解得：t=

9

8

；
②如圖4，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時(shí)∠APQ=90°，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

． 
解得：t=

15

8

．
綜上所述，當(dāng)t=

9

8

或

15

8

時(shí)，四邊形QBED是直角梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及直角梯形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．