Question

（本題12分）如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）求證：OE=OF；

（2）若CE=8，CF=6，求OC的長；

（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

（1）見解析；（2）6.5；（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

【解析】

試題分析：（1）根據角平分線的性質可得∠2=∠5，∠4=∠6，根據平行線的性質可得∠1=∠3，∠3=∠6，從而可以說明∠1=∠2，∠3=∠4，從而得到結論；（2）根據角平分線的性質得出∠ECF=90°，根據勾股定理求出EF的長度，然后根據直角三角形斜邊上的中線的性質求出CO的長度；（3）當O為AC的中點時，則AO=CO，EO=FO說明四邊形AECF是平行四邊形，根據∠ECF=90°得出四邊形AECF為矩形.

試題解析：（1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，

∴∠2=∠5，4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，F(xiàn)O=CO， ∴OE=OF；

（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°， ∵CE=12，CF=5，∴EF==13，

∴OC=EF=6.5；

（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

證明：當O為AC的中點時，AO=CO，∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF=90°，∴平行四邊形AECF是矩形

考點：角平分線的性質、平行四邊形的性質、矩形的判定.