Question

已知直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A（-4，3），點(diǎn)B在x軸上，△AOB是等腰三角形．
（1）求滿足條件的所有點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求過O，A，B三點(diǎn)且開口向下的拋物線的函數(shù)表達(dá)式（只需求出滿足條件的一條即可）；
（3）在（2）中求出的拋物線上存在點(diǎn)P，使得以O(shè)，A，B，P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)梯形的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)，易求得OA=5，若△AOB是等腰三角形，應(yīng)分三種情況考慮：
①OA=OB=5，由于點(diǎn)B的位置不確定，因此要分B在x軸正、負(fù)半軸兩種情況求解，已知了OB的長，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②OA=AB=5，此時(shí)點(diǎn)B只能在x軸負(fù)半軸上，那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)應(yīng)為點(diǎn)A橫坐標(biāo)的2倍，可據(jù)此求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
③AB=OB=5，此時(shí)點(diǎn)B只能在x軸負(fù)半軸上，可在x軸上截取AD=OA，通過構(gòu)建相似三角形：△OBA∽△OAD，通過所得比例線段來求出OB的長，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）任選一個(gè)（1）題所得的B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．
（3）解此題時(shí)，雖然不同的拋物線有不同的解，但解法一致；分兩種情況：
①OA∥BP時(shí)，可分別過A、P作x軸的垂線，設(shè)垂足為C、E，易證得△AOC∽△PBE，根據(jù)所得比例線段，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．而梯形ABPO的面積可化為△ABO、△PBO的面積和來求出．
②OP∥AB時(shí)，方法同上，過P作PF⊥x軸于F，然后通過相似三角形：△ABC∽△POF，來求出P點(diǎn)坐標(biāo)，梯形面積求法同上．（當(dāng)OA=AB時(shí)，兩種情況的點(diǎn)P正好關(guān)于拋物線對稱軸對稱，可據(jù)此直接求出P點(diǎn)坐標(biāo)，避免重復(fù)計(jì)算．）

解答：解：作AC⊥x軸，由已知得OC=4，AC=3，OA=

OC2+AC2

=5．
（1）當(dāng)OA=OB=5時(shí)，
如果點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖（1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-5，0）；
如果點(diǎn)B在x軸的正半軸上，如圖（2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）；

當(dāng)OA=AB時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖（3），BC=OC，則OB=8，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-8，0）；
當(dāng)AB=OB時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，如圖（4），在x軸上取點(diǎn)D，使AD=OA，可知OD=8．
由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA，
則

OB

OA

=

OA

OD

，
解得OB=

25

8

，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-

25

8

，0）．


（2）當(dāng)AB=OA時(shí)，拋物線過O（0，0），A（-4，3），B（-8，0）三點(diǎn)，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²+bx，
可得方程組

64a-8b=0 16a-4b=3

，
解得a=-

3

16

，b=-

3

2

，
∴y=-

3

16

x2-

3

2

x；
當(dāng)OA=OB時(shí)，同理得y=-

3

4

x2-

15

4

x．

（3）當(dāng)OA=AB時(shí)，若BP∥OA，如圖（5），作PE⊥x軸，
則∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°，
△AOC∽△PBE，

PE

BE

=

AC

OC

=

3

4

．
設(shè)BE=4m，PE=3m，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4m-8，-3m），
代入y=-

3

16

x2-

3

2

x，
解得m=3；
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-9），
S_梯形ABPO=S_△ABO+S_△BPO=48．
若OP∥AB，根據(jù)拋物線的對稱性可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-12，-9），
S_梯形AOPB=S_△ABO+S_△BPO=48．


當(dāng)OA=OB時(shí)，若BP∥OA，如圖（6），作PF⊥x軸，
則∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°，
△AOC∽△PBF，

PF

BF

=

AC

OC

=

3

4

；
設(shè)BF=4m，PF=3m，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4m-5，-3m），
代入y=-

3

4

x2-

15

4

x，
解得m=

3

2

．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-

9

2

），
S_梯形ABPO=S_△ABO+S_△BPO=

75

4

．
若OP∥AB（圖略），作PF⊥x軸，
則∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°，
△ABC∽△POF，

PF

OF

=

AC

BC

=3；
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-n，-3n），
代入y=-

3

4

x2-

15

4

x，
解得n=9．
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-9，-27），S_梯形AOPB=S_△ABO+S_△BPO=75．

點(diǎn)評：此題考查了等腰三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、圖形面積的求法等知識．同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，一定要考慮全面，避免漏解．