Question

如圖，一次函數(shù)y=-

1

2

x+2分別交y軸、x 軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N．求當(dāng)t 取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）首先求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而帶入二次函數(shù)解析式得出b，c的值即可；
（2）根據(jù)作垂直x軸的直線x=t，得出M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)坐標(biāo)性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-

1

2

x+2分別交y軸、x 軸于A、B兩點(diǎn)，
∴x=0時(shí)，y=2，y=0時(shí)，x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
將x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得c=2，
將x=4，y=0，c=2代入y=-x²+bx+c，
得到b=

7

2

，
∴y=-x²+

7

2

x+2；

（2）∵作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，
∴由題意，易得M（t，-

1

2

t+2），N（t，-t²+

7

2

t+2），
從而得到MN=-t²+

7

2

t+2-（-

1

2

t+2）=-t²+4t （0＜t＜4），
當(dāng)t=-

b

2a

=2時(shí)，MN有最大值為：

4ac-b2

4a

=4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知得出M，N的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．