Question

如圖，直線y=x+b與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，與雙曲線在第一象限交于B、C兩點(diǎn)，且AB•BD=4，則k=    ．

Answer 1

【答案】分析：過(guò)B作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，令直線方程中x=0，求出y的值，即為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，得出OA的長(zhǎng)，令y=0求出x的值，即為D的橫坐標(biāo)，確定出OD的長(zhǎng)，由FB與OD平行，利用平行線得比例列出比例式，根據(jù)OA：OD的比值，得出AF：FB的比值，設(shè)B的坐標(biāo)為（m，n），可得出FB=m，根據(jù)比例表示出AF的長(zhǎng)，在直角三角形AFB中，利用勾股定理表示出AB的平方，由OD-OE=ED，表示出ED，BE即為B的縱坐標(biāo)n，在直角三角形BED中，根據(jù)勾股定理表示出BD的平方，再把B的坐標(biāo)代入直線方程，表示出2b-m=2n，即為DE的長(zhǎng)，代入BD的平方，整理后開方求出AB•BD的值，代入已知AB•BD=4中，求出mn的值，又B在反比例函數(shù)圖象上，可得出k=mn，由mn的值可得出k的值．
解答：解：過(guò)B分別作x軸和y軸的垂線，E，F(xiàn)分別為垂足，如圖，

對(duì)于y=-x+b，令x=0，y=b；令y=0，x=2b，
∴A（0，b），D（2b，0），即OA=b，OD=2b，
∵BF∥OD，
∴AF：OA=BF：OD，又OA：OD=1：2，
∴AF：BF=1：2，
設(shè)B（m，n），m＞0，n＞0，則AF=m，BF=m，
∴在Rt△AFB中，根據(jù)勾股定理得：AB²=AF²+BF²=m²，
在Rt△BED中，BE=n，DE=OD-OE=OD-FB=2b-m，
根據(jù)勾股定理得：BD²=BE²+DE²=n²+（2b-m）²，
而B點(diǎn)在直線y=-x+b上，
∴n=-m+b，即2b-m=2n，
∴BD²=n²+4n²=5n²，
又AB•BD=4，且m＞0，n＞0，
∴m²•5n²=16，即m•n=，
∵點(diǎn)B在雙曲線的圖象上，
∴k=m•n=．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有：平行線的性質(zhì)，勾股定理，代數(shù)式的變形，線段長(zhǎng)度與坐標(biāo)的關(guān)系，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，其中作出輔助線BE、BF是本題的突破點(diǎn)．