Question

如圖，已知動點A（a，b）在反比例函數y=

4

x

（x＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，連接BC，過點B作BC的垂線交反比例函數圖象于點D，連接CD，當點A的橫坐標a由小變大時，△BCD的面積變化情況時（　�。�

• A、由小變大
• B、由大變小
• C、一直不變
• D、先增大后減少

Answer 1

考點：反比例函數系數k的幾何意義

專題：計算題

分析：作DH⊥x軸于H，如圖，根據反比例函數比例系數k的幾何意義得到四邊形ABOC為矩形，S_矩形ABOC=ab=4，再證明Rt△OBC∽Rt△HDB，得到

OB

DH

=

OC

BH

，設DH=t，則BH=

b

a

t，得到D點坐標為（a+

b

a

t，t），根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到（a+

b

a

t）•t=4，然后利用S_△BCD=S_梯形DHOC-S_△BOC-S_△BHD進行計算得到△BCD的面積為4．

解答：解：作DH⊥x軸于H，如圖，
∵AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，
∴四邊形ABOC為矩形，S_矩形ABOC=ab=4，
∵∠CBD=90°，
∴∠OBC+∠HBD=90°，
而∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠BCO=∠HBD，
∴Rt△OBC∽Rt△HDB，
∴

OB

DH

=

OC

BH

，
設DH=t，則

a

t

=

b

BH

，
∴BH=

b

a

t，
∴D點坐標為（a+

b

a

t，t）
∴（a+

b

a

t）•t=4，
∵S_△BCD=S_梯形DHOC-S_△BOC-S_△BHD
=

1

2

（t+b）•（a+

b

a

t）-

1

2

•t•

b

a

t
=

1

2

t•（a+

b

a

t）+

1

2

b（a+

b

a

t）-

1

2

•

b

a

t²
=

1

2

t•（a+

b

a

t）+

1

2

ab+

1

2

•

b

a

t²-

1

2

•

b

a

t²
=

1

2

×4+

1

2

×4
=4．
即△BCD的面積為定值．
故選C．

點評：本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義：在反比例函數y=

k

x

圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．也考查了相似三角形的判定與性質．