Question

（2006•安徽）如圖（1），凸四邊形ABCD，如果點(diǎn)P滿足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個半等角點(diǎn)．
（1）在圖（3）正方形ABCD內(nèi)畫一個半等角點(diǎn)P，且滿足α≠β；
（2）在圖（4）四邊形ABCD中畫出一個半等角點(diǎn)P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）；
（3）若四邊形ABCD有兩個半等角點(diǎn)P₁、P₂（如圖（2）），證明線段P₁P₂上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可知，所畫的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)．因?yàn)樵趫D形內(nèi)部，所以不能是AC的端點(diǎn)，又由于α≠β，所以不是AC的中點(diǎn)．
（2）畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B’，延長DB’交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求．（因?yàn)閷ΨQ的兩個圖形完全重合）
（3）先連P₁A、P₁D、P₁B、P₁C和P₂D、P₂B，根據(jù)題意∠AP₁D=∠AP₁B，∠DP₁C=∠BP₁C∴∠AP₁B+∠BP₁C=180度．∴P₁在AC上，同理，P₂也在AC上，再利用ASA證明△DP₁P₂≌△BP₁P₂而，那么△P₁DP₂和△P₁BP₂關(guān)于P₁P₂對稱，P是對稱軸上的點(diǎn)，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)．
解答：解：（1）所畫的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)，即給（4分）．

（2）畫點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B’，延長DB’交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求（不寫文字說明不扣分）給（3分）．
（說明：畫出的點(diǎn)P大約是四邊形ABCD的半等角點(diǎn)，而無對稱的畫圖痕跡，給1分）

（3）連P₁A、P₁D、P₁B、P₁C和P₂D、P₂B，根據(jù)題意，
∠AP₁D=∠AP₁B，∠DP₁C=∠BP₁C，
∴∠AP₁B+∠BP₁C=180度．
∴P₁在AC上，
同理，P₂也在AC上．（9分）
在△DP₁P₂和△BP₁P₂中，
∠DP₂P₁=∠BP₂P₁，∠DP₁P₂=∠BP₁P₂，P₁P₂公共，
∴△DP₁P₂≌△BP₁P₂．（11分）
所以DP₁=BP₁，DP₂=BP₂，于是B、D關(guān)于AC對稱．
設(shè)P是P₁P₂上任一點(diǎn)，連接PD、PB，由對稱性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)．（14分）
點(diǎn)評：通過閱讀理解半等角點(diǎn)的概念，再綜合運(yùn)用知識解決問題，本題屬于閱讀理解題，對知識與能力要求較高．
命題立意：本題考查學(xué)生理解知識和綜合運(yùn)用知識的能力．