Question

【題目】如圖，正方形ABCD，點P是對角線AC上一點，連結BP，過P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=4，CQ=10，則正方形ABCD的面積為 ．

Answer 1

【答案】324

【解析】

試題分析：作PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，利用正方形的性質和角平分線上的點到角的兩邊相等以及已知條件即可證明△BPM≌△QPN，得出BM=QN，設BM=x，則NF=x，PM=CM=CN=10+x，根據平行線分線段成比例定理即可得到關于x的比例式，求出x的值，即可求出正方形的邊長，進而求出其面積．

解：作PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC平分∠BCD，

∴PM=PN，∠NEM=90°，

∴四邊形PMCN為正方形，∵PQ⊥BP，∴∠BPQ=90°，

∴∠BPM=∠NPQ，

在△BPM和△QPN中，，

∴△BPM≌△QPN（AAS），

∴BM=QN；

設BM=x，則NF=x，

∴PM=CM=CN=10+x，

∴CP=（10+x），

∵PM∥AB，

∴，即，

解得：x=4或x=﹣10（舍），

∴BM=4，CM=14，

∴BC=BM+CM=18，

∴正方形ABCD的面積為：18×18=324．

故答案為：324．