Question

如圖：△ABC是等邊三角形?
（1）若AD=BE=CF，求證△DEF是等邊三角形．?
（2）請問（1）的逆命題成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請用反例說明?

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=AB=BC，
∵AD=BE=CF，
∴AC-CF=BC-BE=AB-AD，
∴EC=AF=BD，
∴在△ADF，△BED，△CFE中，

AD=BE=CF ∠A=∠B=∠C EC=AF=BD

，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=DE=EF，
∴△DEF是等邊三角形，

（2）（1）的逆命題成立，
已知：△DEF是等邊三角形，求證：AD=BE=CF．
證明：∵△DEF是等邊三角形，
∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=60°，DF=EF=DE，
∵等邊三角形ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠ADF+∠AFD=120°，∠ADF+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°，∠AFD+∠EFC=120°，
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC，
在△ADF，△BED，△CFE中，
∵

DF=ED=FE ∠A=∠B=∠C ∠ADF=∠BED=∠CFE

，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD=BE=CF．