設(shè)a，b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時(shí)，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．
（1）反比例函數(shù)y=
2014
x
是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說明理由；
（2）若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的表達(dá)式；
（3）若二次函數(shù)y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
是閉區(qū)間[a，b]上的“閉函數(shù)”，直接寫出實(shí)數(shù)a，b的值．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),一次函數(shù)的性質(zhì),反比例函數(shù)的性質(zhì)
專題：新定義
分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)y=
2014
x
的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷；
（2）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組
km+b=m
kn+b=n
或
km+b=n
kn+b=m
通過解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值；
（3）y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
=
1
5
（x-2）2-
11
5
，所以該二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是-
11
5
，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=b
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=a
或
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=a
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b
，通過解方程組即可求得a、b的值．
解答：解：（1）反比例函數(shù)y=
2014
x
是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”．理由如下：
當(dāng)x=1時(shí)，y=
2014
x
=2014；當(dāng)x=2014時(shí)，y=
2014
x
=1，
即當(dāng)1≤x≤2014，有1≤y≤2014，
所以反比例函數(shù)y=
2014
x
是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”．

（2）分兩種情況討論，k＞0或者k＜0．
①當(dāng)k＞0時(shí)，根據(jù)題意得
km+b=m
kn+b=n
，解得
k=1
b=0
，
所以此函數(shù)解析式為y=x；
②當(dāng)k＜0時(shí)，根據(jù)題意得
km+b=n
kn+b=m
，解得
k=-1
b=m+n
，
所以此時(shí)一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+m+n；

（3））∵y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
=
1
5
（x-2）2-
11
5
，
∴該二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是-
11
5
，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；
①當(dāng)b≤2時(shí)，此二次函數(shù)y隨x的增大而減小，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=b
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=a
，
解得，
a=1
b=-2
（不合題意，舍去）或
a=-2
b=1
；
②當(dāng)a＜2＜b時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)y=
1
5
x2-
4
5
x-
7
5
的最小值是-
11
5
=a，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，
b=
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
或b=
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
；
a）當(dāng)b=
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
時(shí)，由于b=
1
5
（-
11
5
）2-
4
5
×（-
11
5
）-
7
5
=
166
125
＜2，不合題意，舍去；
b）當(dāng)b=
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
時(shí)，解得b=
9±
109
2
，
由于b＞2，
所以b=
9+
109
2
；
③當(dāng)a≥2時(shí)，此二次函數(shù)y隨x的增大而增大，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義知，
1
5
a2-
4
5
a-
7
5
=a
1
5
b2-
4
5
b-
7
5
=b
，
解得：
a=
9-
109
2
b=
9+
109
2
，
∵
9-
109
2
＜0，
∴舍去．
綜上所述，
a=-2
b=1
或
a=-
11
5
b=
9+
109
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性和增減性，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是弄清楚“閉函數(shù)”的定義．解題時(shí)，也要注意“分類討論”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①0是絕對(duì)值最小的有理數(shù)          
②相反數(shù)小于本身的數(shù)是正數(shù)
③數(shù)軸上原點(diǎn)兩側(cè)的數(shù)互為相反數(shù)    
④兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而�。�
A、1B、2C、3D、4

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=
6
x
（x＞0）圖象上一點(diǎn)，⊙P交x軸于點(diǎn)O，B，連接OP并延長(zhǎng)交⊙P于點(diǎn)A．連接AB交反比例函數(shù)于點(diǎn)Q，當(dāng)AP=AQ時(shí)，以PQ為對(duì)稱軸將△APQ翻折得到△CPQ，則△CPQ與△AOB重疊部分PEFQ的面積是
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

釣魚島是我國固有領(lǐng)土，其本島面積約為4300000平方米，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為
 
平方米．

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某小區(qū)想借助如圖所示的直角墻角（兩足夠長(zhǎng)），用32米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園ABCD（籬笆AB、BC兩邊），設(shè)AB=x米．
（1）若花園的面積為192米2，求x的值；
（2）若在P處有一棵樹與墻CD、AD的距離分別是18米和8米，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），求花園面積的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，一次函數(shù)y1=2x+1的圖象與反比例函數(shù)y2=
k
x
（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（m，3）
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）結(jié)合圖象直接比較：當(dāng)x＞0時(shí)，y1和y2的大小．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

讀語句作圖
（1）作直線AB；
（2）過點(diǎn)P作直線AB的垂線，垂足M；
（3）連結(jié)PA；
（4）畫射線PB．
根據(jù)所作圖填空：
①點(diǎn)A與點(diǎn)P的距離是圖中線段
 
的長(zhǎng)度．
②點(diǎn)P到直線AB的距離是
 
的長(zhǎng)度．
③若Q為直線AB上任一點(diǎn)，則PQ與PM的關(guān)系是
 
．其數(shù)學(xué)原理是
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，
BC
=
CD
，過點(diǎn)C作CE⊥AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若BC=3，AC=4，求CE和AD的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲、乙兩站相距360千米，一列快車從甲站開出，每小時(shí)行160千米，一列慢車從乙站開出，每小時(shí)行80千米．
（1）兩車同時(shí)開出，相向而行多少小時(shí)后兩車相遇？
（2）兩車同向而行，快車在慢車的后面，且慢車提前半小時(shí)出發(fā)，經(jīng)過多少小時(shí)后快車追上慢車？

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