Question

探索、研究：下圖是按照一定的規(guī)律畫出的一列“樹(shù)型”圖，下表的n表示“樹(shù)型”圖的序號(hào)，a_n表示第n個(gè)“樹(shù)型”圖中“樹(shù)枝”的個(gè)數(shù)。

圖：

                                         

n	1	2	3	4	…
an	1	3	7	15	…

表：

⑴ 根據(jù)“圖”、“表”可以歸納出a_n關(guān)于n的關(guān)系式為_(kāi)___________________。

若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，求直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)都在直線上。

⑵ 設(shè)直線：與x軸相交于點(diǎn)A，與直線相交于點(diǎn)M，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，且與直線相交于另一點(diǎn)N。

① 求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出雙曲線及直線、。

② 設(shè)H為雙曲線在點(diǎn)M、N之間的部分（不包括點(diǎn)M、N），P為H上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，直線MP與x軸相交于點(diǎn)Q，當(dāng)為何值時(shí)，的面積等于的面積的2倍？又是否存在的值，使得的面積等于1？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

③ 在y軸上是否存在點(diǎn)G，使得的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解:（1） 

    過(guò)點(diǎn)、的直線為 ①

    將點(diǎn)代入①，

    左式=，右式=，左式=右式

    ∴對(duì)任意的正整數(shù)n，點(diǎn)都在直線上。

（2）①由題意，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

由雙曲線過(guò)點(diǎn)M，得，雙曲線為，

由此得點(diǎn)N的坐標(biāo)為

② 由題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

當(dāng)，即時(shí)，P為MQ的中點(diǎn)，

∴，由此得  t=2

∴當(dāng)t=2時(shí)，的面積等于的面積的2倍

過(guò)M作ME⊥x軸于E，則

由

用配方法或根的判別式法可以確定此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。

∴不存在這樣的t值，使的面積為1

③ 由題意，點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M’的坐標(biāo)為

設(shè)在y軸上存在點(diǎn)G，使得的周長(zhǎng)最小

∵M(jìn)N為定值

∴要使的周長(zhǎng)最小，只要GM+GN的值最小，由平面幾何知識(shí)可知，得G為M’N與y軸的交點(diǎn)，

設(shè)過(guò)M’N的直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，則

，得，

∴ 由此可求得G的坐標(biāo)為