Question

如圖1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以O(shè)B為邊，在△OAB

外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E．

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：在Rt△OAB中，D為OB的中點(diǎn)，∴DO=DA 。

 ∴∠DAO=∠DOA =30°, ∠EOA=90° �！唷螦EO =60° 。

又∵△OBC為等邊三角形，∴∠BCO=∠AEO =60°�！郆C∥AE。

∵∠BAO=∠COA =90°，∴OC∥AB。

∴四邊形ABCE是平行四邊形。

（2）設(shè)OG=x，由折疊可知：AG=GC=8－x。

在Rt△ABO中，∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB=8，∴OA=OB·cos30°=8×=。

在Rt△OAG中，OG²+OA²=AG²，即 ，解得，。

∴OG=1。

【解析】（1）首先根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DO=DA，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAO=∠DOA=30°，進(jìn)而算出∠AEO=60°，再證明BC∥AE，CO∥AB，進(jìn)而證出四邊形ABCE是平行四邊形。

（2）設(shè)OG=x，由折疊可得：AG=GC=8-x，再利用三角函數(shù)可計(jì)算出AO，再利用勾股定理計(jì)算出OG的長(zhǎng)即可。