Question

已知二次函數(shù)y=x²–kx+k–1（k＞2）.

（1）求證：拋物線y=x²–kx+k-1（k＞2）與x軸必有兩個交點(diǎn);
（2）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)C,若,求拋物線的表達(dá)式;
（3）以（2）中的拋物線上一點(diǎn)P（m,n）為圓心,1為半徑作圓,直接寫出：當(dāng)m取何值時,x軸與相離、相切、相交.

Answer 1

（1）證明見解析;
（2）拋物線的表達(dá)式為;
（3）當(dāng)或時,x軸與相離.
當(dāng)或或時,x軸與相切.
當(dāng)或時,x軸與相交．

解析試題分析：（1）要證明二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個交點(diǎn),證明二次函數(shù)的判別式是正數(shù)即可解決問題;
（2）根據(jù)函數(shù)解析式求出A、B、C點(diǎn)坐標(biāo),再由,求出函數(shù)解析式;
（3）先求出當(dāng)或或時,x軸與相切,再寫出相離與相交．
試題解析：（1）∵,
又∵,
∴.
∴即.
∴拋物線y=x²–kx+k-1與x軸必有兩個交點(diǎn);
(2)∵拋物線y=x²–kx+k-1與x軸交于A、B兩點(diǎn),
∴令,有.
解得：.
∵,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),
∴.
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C,
∴.
∵在Rt中,,
∴,解得.
∴拋物線的表達(dá)式為;
（3）解：當(dāng)或時,x軸與相離.
當(dāng)或或時,x軸與相切.
當(dāng)或時,x軸與相交．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合．