Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以每秒3cm的速度移動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以每秒1cm的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當其中一點到達終點時運動停止．設運動時間為t秒．
（1）求證：當t=

3

2

時，四邊形APQD是平行四邊形；
（2）PQ是否可能平分對角線BD？若能，求出當t為何值時PQ平分BD；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得當t=4秒時，兩點停止運動，在運動過程中AP=3t，CQ=t，即可得BP=12-3t，DQ=6-t，由t=

3

2

，即可求得AP=DQ，又由AP∥DQ，即可判定四邊形APQD是平行四邊形；
（2）首先連接BD交PQ于點E，若PQ平分對角線BD，則DE=BE，易證得△DEQ≌△BEP，繼而可得四邊形DPBQ為平行四邊形，則可得6-t=12-3t，解此方程即可求得答案．

解答：（1）證明：∵

12

3

＜

6

1

，
∴當t=4秒時，兩點停止運動，在運動過程中AP=3t，CQ=t，
∴BP=12-3t，DQ=6-t，
當t=

3

2

時，DQ=6-

3

2

=

9

2

，AP=3×

3

2

=

9

2

，
∴AP=DQ，
又∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AP∥DQ，
∴四邊形APQD為平行四邊形；

（2）能，當t=3秒時，PQ平分對角線BD．
連接BD交PQ于點E，若PQ平分對角線BD，則DE=BE，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
在△DEQ和△BEP中，

∠3=∠4 ∠1=∠2 DE=BE

，
∴△DEQ≌△BEP（AAS），
∴DQ=BP，
即四邊形DPBQ為平行四邊形，
∴6-t=12-3t，
解得t=3，符合題意，
∴當t=3秒時，PQ平分對角線BD．

點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．