Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣12的圖象交x軸于A（﹣3，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，并且當(dāng)m≤x≤m+5時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y滿足﹣m，求m的值；

（3）若點(diǎn)D在第四象限內(nèi)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交BC于E，DF⊥BC于F．線段EF的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值及相應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣12；（2）m的值為﹣或0．（3）點(diǎn)D坐標(biāo)為（，﹣11）時(shí)，線段EF長(zhǎng)度的最大值為．

【解析】

（1）已知拋物線過點(diǎn)A、B，用待定系數(shù)法即可求其解析式．

（2）把二次函數(shù)配方求得頂點(diǎn)為（1，﹣），當(dāng)x＝1時(shí)，二次函數(shù)有最小值y＝﹣．而在m≤x≤m+5范圍，函數(shù)值y對(duì)應(yīng)的最小值也為﹣，故x＝1在m≤x≤m+5的范圍內(nèi)，即m≤1≤m+5，解得﹣4≤m≤1．因?yàn)椴淮_定x＝m還是x＝m+5時(shí)取得相應(yīng)的最大值，故需分類討論．若x＝m離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，則x＝m時(shí)取得最大值﹣m，代入計(jì)算即求得m的值；若x＝m+5離對(duì)稱軸距離較遠(yuǎn)，則x＝m+5時(shí)取得最大值，代入計(jì)算即求得m的值．

（3）由DE∥y軸可得∠DEF＝∠BCO，點(diǎn)D與點(diǎn)E橫坐標(biāo)相同．設(shè)點(diǎn)D橫坐標(biāo)為d，用d表示點(diǎn)D縱坐標(biāo)．求出直線BC解析式后，即能用d表示點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)而能用d表示DE的長(zhǎng)度．由于DF⊥BC于E，所以cos∠DEF＝ ．在Rt△BOC中易求cos∠BCO的值，由∠DEF＝∠BCO得cos∠DEF＝cos∠BCO，能用含d的二次式表示EF，配方即求得EF的最大值．

解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣12的圖象過點(diǎn)A（﹣3，0），B（5，0）

∴ 解得：,

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣12

（2）∵y＝x2﹣x﹣12＝（x﹣1）2﹣

∴當(dāng)x＝1時(shí)，二次函數(shù)有最小值y＝﹣

∵當(dāng)m≤x≤m+5時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y滿足﹣≤y≤m

∴對(duì)稱軸：x＝1在m≤x≤m+5的范圍內(nèi)，即m≤1≤m+5

解得：﹣4≤m≤1

取點(diǎn)（m，0）與點(diǎn)（m+5，0）的中點(diǎn)M（m+）

①當(dāng)m+≤1時(shí)，即﹣4≤m≤﹣，點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)

∴x＝m到對(duì)稱軸的距離比x＝m+5到對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)

∴x＝m時(shí)，y取得最大值

∴m2﹣m﹣12＝﹣m

解得：m1＝（舍去），m2＝﹣

②當(dāng)m+＞1時(shí)，即﹣＜m≤1，點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)

∴x＝m+5到對(duì)稱軸的距離比x＝m到對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)

∴x＝m+5時(shí)，y取得最大值

∴（m+5）2﹣（m+5）﹣12＝﹣m

解得：m1＝﹣10（舍去），m2＝0

綜上所述，m的值為﹣或0．

（3）∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2﹣x﹣12＝﹣12

∴C（0，﹣12）

∵B（5，0），∠BOC＝90°

∴直線BC：y＝x﹣12，BC＝

∴Rt△BOC中，cos∠BCO＝

∵DE∥y軸

∴∠DEF＝∠BCO，xE＝xD

設(shè)D（d，d2﹣d﹣12）（0＜d＜5），則E（d，d﹣12）

∴DE＝d﹣12﹣（d2﹣d﹣12）＝﹣d2+4d＝﹣（d﹣）2+5

∵DF⊥BC

∴∠DFE＝90°

∴cos∠DEF＝＝cos∠BCO＝

∴EF＝DE＝﹣（d﹣）2+

∴當(dāng)d＝時(shí)，EF最大值為

此時(shí)，yD＝×（）2﹣×﹣12＝﹣11

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（，﹣11）時(shí)，線段EF長(zhǎng)度的最大值為．