Question

據(jù)我國古代《周髀算經(jīng)》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得到一個直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三、股四、弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，
當勾=3時，股4=（9-1），弦5=（9+1）；
當勾=5時，股12=（25-1），弦13=（25+1）；
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請你根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用n（n為奇數(shù)且n≥3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾______、股______、弦______，并猜想他們之間的相等關(guān)系（寫二種）并對其中一種猜想加以證明；
（2）繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．請你直接用m（m為偶數(shù)且m≥4）的代數(shù)式來表示他們的股和弦．

Answer 1

解：（1）∵（9-1）=4，（9+1）=5； （25-1）=12，（25+1）=13；
∴7，24，25的股的算式為 （49-1）=（7²-1）
弦的算式為 （49+1）=（7²+1）；
當n為奇數(shù)且n≥3，勾、股、弦的代數(shù)式分別為：n，（n²-1），（n²+1）．
例如關(guān)系式①：弦-股=1；關(guān)系式②：勾²+股²=弦²，
證明關(guān)系式①：弦-股=（n²+1）-（n²-1）=[（n²+1）-（n²-1）]=1
或證明關(guān)系式②：勾²+股²=n²+[（n²-1）]²=n⁴+n²+=（n²+1）²=弦²∴猜想得證；

（2）例如探索得，當m為偶數(shù)且m＞4時，股、弦的代數(shù)式分別為：，．
另加分問題，
例如：連接兩組勾股數(shù)中，上一組的勾、股與下一組的勾的和等于下一組的股．
即上一組為：n，（n²-1），-（n²+1）（n為奇數(shù)且n≥3），
分別記為：A₁、B₁、C₁，
下一組為：n+2，[（n+2）²-1]，[（n+2）²+1]（n為奇數(shù)且n≥3），
分別記為：A₂、B₂、C₂，
則：A₁+B₁+A₂=n+（n²-1）+（n+2）=（n²+4n+3）=[（n+2）²-1]=B₂．
或B₁+C₂=B₂+C₁（證略）等等．
分析：（1）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）股是勾的平方減去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
點評：本題屬規(guī)律性題目，考查的是勾股數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目中所給的勾股數(shù)及關(guān)系式進行猜想、證明即可．