Question

如圖，四邊形ABCD中，點E在邊CD上，連結(jié)AE、BE．給出下列五個關(guān)系式：①AD∥BC；②DE＝CE；③∠1＝∠2；④∠3＝∠4；⑤AD＋BC＝AB．將其中的三個關(guān)系式作為題設(shè)，另外兩個作為結(jié)論，構(gòu)成一個命題．

(1)用序號寫出一個真命題(書寫形式如：如果×××，那么××)，并給出證明；

(2)用序號再寫出三個真命題(不要求證明)；

(3)真命題不止以上四個，想一想，就能夠多寫出幾個真命題．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)1)如果①②③，那么④⑤證明：如圖，延長AE交BC的延長線于F 　　∵AD∥BC　　∴∠1＝∠F 　　又∵∠AED＝∠CEF，DE＝EC 　　∴△ADE≌△FCE 　　∴AD＝CF，AE＝EF 　　∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F 　　∴AB＝BF　　∴∠3＝∠4 　　∴AD＋BC＝CF＋BC＝BF＝AB2)如果①②④，那么③⑤ 　　證明　　延長BE交AD的延長線于F，其證明方法與上類似，略． 　　3)如果①②⑤，那么③④ 　　證明　　仍如圖，延長AE交BC的延長線于F． 　　由AD∥BC，DE＝CE．可證△ADE≌△FCE． 　　∴AD＝CF　　AE＝EF∵AD＋BC＝AB． 　　∴AB＝FB． 　　∴∠2＝∠F＝∠1，∠3＝∠4． 　　4)如果①③④，那么②⑤ 　　證明　　方法一：仍如圖，延長AE交BC的延長線于F． 　　∵AD∥BC 　　∴∠1＝∠F∵∠1＝2 　　∴∠2＝∠F又∠3＝∠4　　BE＝BE　　∴△ABE≌△FBE 　　∴AE＝FE，AB＝FB 　　∴△ADE≌△FCE 　　∴AD＝FC　　DE＝CE．從而AD＋BC＝AB 　　此外，本命題也可以這樣證明． 　　方法二：如圖，在AB邊上截取AK＝AD，連結(jié)KE∵AK＝AD，∠1＝∠2，AE＝AE， 　　∴△AKE≌△ADE 　　∴∠5＝∠6，KE＝DE∵AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4 　　∴∠AEB＝ 　　∵∠6＋∠7＝∠5＋∠8． 　　∴∠7＝∠8． 　　∴△BKE≌△BCE． 　　∴BK＝BC，KE＝CE　　從而DE＝CE，AD＋BC＝AB． 　　5)如果①③⑤，那么②④ 　　證明　　如圖(前兩個)，均可證明．略． 　　6)如果①④⑤，那么②③ 　　證明　　方法同5)．略 　　7)如果②③⑤，那么①④ 　　證明　　如圖，先證△AKE≌△ADE，再證△BKE≌△BCE，即可． 　　8)如果②④⑤，那么①③ 　　證明　　方法同7)． 　　9)如果③④⑤，那么①② 　　證明　　如圖，也是先證△AKE≌△ADE，再證△BKE≌△BCE，即可． 　　2)在(1)中只要證明9個真命題中的1個，剩余的選3個納入(2)． 　　(3)還有5個真命題供選擇． 　　評析：對1)，如果①②③，那么④⑤，當(dāng)然也可作圖來證，不過有關(guān)這方面的知識(需證四點BCEK共圓)我們還沒有學(xué)過．另外亦可作梯形的中位線ME，那要等到學(xué)過梯形的中位線定理后才能證明． 　　注意，10個命題中，如果②③④，那么①⑤是假命題．

提示：

思路與技巧：由五個關(guān)系式中三個關(guān)系式作為題設(shè)，另外兩個作為結(jié)論，一共能構(gòu)成10個命題，其中有些是真命題，有些是假命題．究竟哪些是真命題：一是靠推理，二是靠經(jīng)驗．