Question

【題目】如圖，過點C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=﹣x+4于B、A兩點，若二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過坐標原點O，且頂點在矩形ADBC內（包括邊上），則a的取值范圍是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由過點C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+4于B、A兩點，即可求得點A與B的坐標，繼而求得點D的坐標，又由二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過坐標原點O，且頂點在矩形ADBC內（包括三邊上），可得a＜0，然后由|a|越大，開口越小，可得當頂點在頂點在AC上時，a最小，當頂點在頂點在BD上時，a最大，繼而求得答案．

∵過點C（2，1）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=-x+4于B、A兩點，

∴點A（2，2），點B（3，1），

∵四邊形ABCD是矩形，

∴D（3，2），

∵二次函數頂點y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過坐標原點O，且在矩形ADBC內（包括三邊上），

∴a＜0，

∵|a|越大，開口越小，

即a越小，開口越小，

∴當頂點在AC上時，a最小，

設此時頂點坐標為（2，m），且1≤m≤2，

則二次函數的解析式為：y=a（x-2）2+m，

∵二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過坐標原點O，

∴a（0-2）2+m=0，

解得：a=-，

∴當m=2時，a最小，a=-，

∴當頂點在頂點在BD上時，a最大，

設此時頂點坐標為（3，n），且1≤n≤2，

則二次函數的解析式為：y=a（x-3）2+n，

∵二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過坐標原點O，

∴a（0-3）2+n=0，

解得：a=-，

∴當n=1時，a最大，a=-，

∴a的取值范圍是：-≤a≤-．

故答案為：-≤a≤-．