Question

如圖，△ABC的三條角平分線交于I點（∠ACB＞∠ABC），AI交BC于D，作IE⊥BC于E．下列結(jié)論：①∠CID+∠ABI=90°；②∠BID=∠CIE；③∠IBD=∠DIE；④∠DIE=∠ACI-∠ABI．其中正確的結(jié)論是

1. A.
   ①②③
2. B.
   ①②④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

B
分析：本題作為一個選擇題出現(xiàn)比較簡單，可不必對各選項進行逐一分析，只要用排除法便可解答．
解答：∵四個選項中①均存在，
∴可不予考慮，①必然成立，
②∵I為△ABC三條角平分線的交點，IE⊥BC于E，
∴∠ABI=∠IBD，
∵∠CID+∠ABI=90°，即∠CIE+∠DIE+∠IBD=90°，
∵IE⊥BC于E，∴∠IBD+∠BID+∠DIE=90°，
∴∠BID=∠CIE，即②成立；
③∵∠BID=∠CIE，∠BID是△ABI的外角，∠CID是△AIC的外角，
∴∠BID=∠BAI+∠ABI，∠CID=∠IAC+∠ACI，
∵∠BID=∠CIE，∠BAI=∠IAC，
∴∠DIE=∠ACI-∠ABI，
若∠IBD=∠DIE成立，則∠ICE=2∠IBD，即（∠ACB=4∠ABC）．
∴無法判定③是否成立；
④∵∠BID=∠CIE，∠BID是△ABI的外角，∠CID是△AIC的外角，
∴∠BID=∠BAI+∠ABI，∠CID=∠IAC+∠ACI，
∵∠BID=∠CIE，∠BAI=∠IAC，
∴∠DIE=∠ACI-∠ABI，故④成立．
故成立的是①②④．
故選B．
點評：此題比較復雜，但是作為選擇題出現(xiàn)不必一一求證，解答此類題目的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，并且熟知用排除法解答選擇題的技巧．