在矩形ABCD中,AB=1,AD=,AF平分∠DAB,過C點(diǎn)作CEBD于E,延長AF、EC交于點(diǎn)H,下列結(jié)論中:①AF=FH;②B0=BF;③CA=CH;④BE=3ED;正確的個數(shù)為( )
A.1個 | B.2個 | C.3個 | D.4個 |
C
解析試題分析:根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB=OC=OD,由AD=,AB=1根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值可求出∠ADB=30°,即得∠ABO=60°,從而可證得△ABO是等邊三角形,即得AB=BO=AO=OD=OC=DC,推出BF=AB,求出∠H=∠CAH=15°,求出DE=EO,再依次分析各小題即可作出判斷.
根據(jù)已知條件不能推出AF=FH,故①錯誤;
解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∵AD=,AB=1,
∴tan∠ADB=,
∴∠ADB=30°,
∴∠ABO=60°,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AC=BD,AC=2AO,BD=2BO,
∴AO=BO,
∴△ABO是等邊三角形,
∴AB=BO,∠AOB=∠BAO=60°=∠COE,
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF=45°,
∵AD∥BC,
∴∠DAF=∠AFB,
∴∠BAF=∠AFB,
∴AB=BF,
∵AB=BO,
∴BF=BO,故②正確;
∵∠BAO=60°,∠BAF=45°,
∴∠CAH=15°,
∵CE⊥BD,
∴∠CEO=90°,
∵∠EOC=60°,
∴∠ECO=30°,
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH,
∴AC=CH,故③正確;
∵△AOB是等邊三角形,
∴AO=OB=AB,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴OA=OC,OB=OD,AB=CD,
∴DC=OC=OD,
∵CE⊥BD,
∴DE=EO=DO=BD,
∴BE=3ED,故④正確;
∴正確的有3個,
故選C.
考點(diǎn):矩形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì)和判定
點(diǎn)評:本題知識點(diǎn)較多,綜合性強(qiáng),是中考常見題,一般是中考壓軸題,難度較大,需特別注意.
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