Question

如圖（1），△ABC是正三角形，曲線(xiàn)DA₁B₁C₁…叫做“正三角形ABC的漸開(kāi)線(xiàn)”，其中

A1C

，

A1B1，

B1C1

，…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C循環(huán)．則曲線(xiàn)CA₁B₁C₁叫做正△ABC的1重漸開(kāi)線(xiàn)，曲線(xiàn)CA₁B₁C₁A₂B₂C₂叫做正△ABC的2重漸開(kāi)線(xiàn)，…，曲線(xiàn)CA₁B₁C₁A₂…A_nB_nC_n叫做正△ABC的n重漸開(kāi)線(xiàn)．如圖（2），四邊形ABCD是正方形，曲線(xiàn)CA₁B₁C₁D₁…叫做“正方形ABCD的漸開(kāi)線(xiàn)”，其中

A1D

，

A1B1

，

B1C1

，

C1D1

…依次連接，它們的圓心依次按A，B，C，D循環(huán)．則曲線(xiàn)DA₁B₁C₁D₁叫做正方形ABCD的1重漸開(kāi)線(xiàn)，…，曲線(xiàn)DA₁B₁C₁D₁A₂…A_nB_nC_nD_n叫做正方形ABCD的n重漸開(kāi)線(xiàn)．依次下去，可得正n形的n重漸開(kāi)線(xiàn)（n≥3）．
若AB=1，則正方形的2重漸開(kāi)線(xiàn)的長(zhǎng)為18π；若正n邊形的邊長(zhǎng)為1，則該正n邊形的n重漸開(kāi)線(xiàn)的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

分析：利用n邊形的外角與n的關(guān)系，然后再利用漸開(kāi)線(xiàn)中第n重的關(guān)系求值．

解答：解：若正n邊形的邊長(zhǎng)為1，
則該正n邊形的第一重漸開(kāi)線(xiàn)長(zhǎng)=

90π×1

180

，二重=

90π×1

180

+

90π×2

180

，
第n重漸開(kāi)線(xiàn)的長(zhǎng)

90π×1

180

+

90π×2

180

+…+

90π×n

180

，
這是四邊形，如果是n邊形，
則內(nèi)角和是（n-2）×180÷n，
所以正n邊形的邊長(zhǎng)為1，
則該正n邊形的n重漸開(kāi)線(xiàn)的長(zhǎng)為2π/n（1+2+…+n）+2π/n[（n+1）+（n+2）+…+（n+n）]+…+2π/n{[（n-1）n+1]+[（n-1）n+2]+…+[（n-1）n+n]=n（n²+1）π．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是明白n邊形的外角與n的關(guān)系，然后再利用漸開(kāi)線(xiàn)中第n重的關(guān)系求值．