Question

【題目】定義：有一組鄰邊均和一條對角線相等的四邊形叫做鄰和四邊形．

（1）如圖1，四邊形ABCD中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，∠ACD＝∠ADC＝80°，求證：四邊形ABCD是鄰和四邊形．

（2）如圖2，是由50個小正三角形組成的網格，每個小正三角形的頂點稱為格點，已知A，B，C三點的位置如圖，請在網格圖中標出所有的格點D，使得以A，B，C，D為頂點的四邊形為鄰和四邊形．

（3）如圖3，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝4，若存在一點D，使四邊形ABCD是鄰和四邊形，求鄰和四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）24或16．

【解析】

（1）根據題意先由三角形的內角和為180°求得∠ACB的度數，從而根據等腰三角形的判定證得AB＝AC＝AD，按照鄰和四邊形的定義即可得出結論；

（2）根據題意以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與網格的交點，以及△ABC外側與點B和點C組成等邊三角形的網格點即為所求；

（3）由題意先根據勾股定理求得AC的長，再分類計算即可：①當DA＝DC＝AC時；②當CD＝CB＝BD時；③當DA＝DC＝DB或AB＝AD＝BD時．

解：（1）∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，

∴∠ACB＝∠ABC，

∴AB＝AC．

∵∠ACD＝∠ADC，

∴AC＝AD，

∴AB＝AC＝AD．

∴四邊形ABCD是鄰和四邊形．

（2）如圖，格點D，D'，D'即為所求作的點．

（3）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝4，

∴AC＝＝8，

顯然AB，BC，AC互不相等．分兩種情況討論：

①當DA＝DC＝AC時，如圖所示：

∴S△ADC＝AC2＝16，S△ABC＝AB×BC＝8．

∴S四邊形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝24；

②當CD＝CB＝BD時，如圖所示：

∴S△BDC＝BC2＝12，S△ADB＝AB（span>BC）＝4，

∴S四邊形ABCD＝S△BDC+S△ADB＝16；

③當DA＝DC＝DB或AB＝AD＝BD時，鄰和四邊形ABCD不存在．

∴鄰和四邊形ABCD的面積是24或16．