Question

如圖1，點(diǎn)A是線段BC上一點(diǎn)，△ABD和△ACE都是等邊三角形．

（1）連結(jié)BE，CD，求證：BE=CD；

（2）如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′．

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為　    　度時(shí)，邊AD′落在AE上；

②在①的條件下，延長(zhǎng)DD’交CE于點(diǎn)P，連接BD′，CD′．當(dāng)線段AB、AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形， ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°。

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC。

在△BAE和△DAC中，∵AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，

∴△BAE≌△DAC（SAS）�！郆E=CD。

（2）① 60。

②當(dāng)AC=2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等。理由如下：

由旋轉(zhuǎn)可知，AB′與AD重合，∴AB=BD=DD′=AD′。

∴四邊形ABDD′是菱形。

∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°，DP∥BC。

∵△ACE是等邊三角形，∴AC=AE，∠ACE=60°。

∵AC=2AB，∴AE=2AD′。

∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°。

又∵DP∥BC，∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°。

在△BDD′與△CPD′中，∵∠DBD′=∠PCD′，BD′=CD′，∠BD′D=∠PD′C，

∴△BDD′≌△CPD′（ASA）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“邊角邊”證明△BAE和△DAC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；

（2）①求出∠DAE，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)：

∵∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAE=180°﹣60°×2=60°。

∵邊AD′落在AE上，∴旋轉(zhuǎn)角=∠DAE=60°。

②當(dāng)AC=2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四邊形

ABDD′是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的對(duì)邊平行可得DP∥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出∠PCD′=∠ACD′=30°，從而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角邊角”證明△BDD′與△CPD′全等�！�