Question

已知拋物線y=，經過C（7，m），交y軸于點A，交X軸于B、M兩點（B在左），D為拋物線的頂點．

（1）求D點坐標及直線AC的解析式．
（2）E為拋物線的對稱軸與直線AC的交點，F與E關于D對稱，求證：△ACF的內心在EF上．
（3）在y軸上是否存在這樣的點P，使△AFP與△FDC相似？若有，請求出所有符合條件的點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

（1）解：把x=0代入y=x²-4x+6得y=6，則點A點坐標為（0，6），
把C（7，m）代入y=x²-4x+6得m=，
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（0，6）和C（7，）代入得，
解得，
所以直線AC的解析式為y=-x+6；
y=x²-4x+6=（x-4）²-2，
所以D點坐標為（4，-2）；

（2）證明：拋物線的對稱軸為直線x=4，
把x=4代入y=-x+6得y=-×4+6=4，
所以E點坐標為（4，4），
因為F與E關于D（4，-2）對稱，
所以F點坐標為（4，-8），
直線AF的解析式為y=-x+6，它與x軸的交點坐標為（，0），
直線CF的解析式為y=x-22，它與x軸的交點坐標為（，0），
因為點（，0）和點（，0）關于直線x=4對稱，
所以直線FE平分∠AFC，
所以△ACF的內心在EF上；

（3）解：存在．理由如下：
AF=2，DF=6，FC=，
因為∠AFE=∠CFE，
而∠AFE=∠FAO，
∴∠FAO=∠DFC，
所以當AP：FD=AF：FC時，△AFP∽△FCD，
即AP：6=2：，解得AP=8，
所以P點坐標為（0，-2）；
當AP：FC=AF：FD時，△AFP∽△FDC，
即AP：=2：6，解得AP=，
所以P點坐標為（0，-），
所以滿足條件的P點坐標為（0，-2）或（0，-）．
分析：（1）先確定A點坐標與C點坐標，再利用待定系數法確定直線AC的解析式，然后把拋物線配成頂點式得到頂點D的坐標和對稱軸方程；
（2）先求出對稱軸與直線AC的交點E的坐標，再利用對稱確定F點的坐標，然后利用待定系數法可求出直線AF的解析式為y=-x+6，直線CF的解析式為y=x-22，再分別求出它們與x軸的交點坐標，則可判斷這兩個點關于拋物線的對稱軸對稱，于是得到直線FE平分∠AFC，根據三角形內心的定義可得到△ACF的內心在EF上；
（3）先計算出AF=2，DF=6，FC=，利用（2）中的結論可得到∠FAO=∠DFC，根據三角形相似的判定方法得到當AP：FD=AF：FC時，△AFP∽△FCD；當AP：FC=AF：FD時，△AFP∽△FDC，則可分別計算出AP的長，然后確定P點坐標．
點評：本題考查了二次函數的綜合題：先根據二次函數的性質確定拋物線頂點坐標與對稱軸，再利用待定系數法確定直線的解析式，然后運用三角形內心的定義和三角形相似的判定與性質進行幾何計算．