Question

如圖，⊙O是△ABC外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是

1

2

弧上一動點，過點P作BC的平行線交AB延長線與點D．
（1）當點P在什么位置時，DP是⊙O的切線？說明理由；
（2）當DP是⊙O的切線時，求DP的長．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）由AB=AC，易得PA是⊙O的直徑．繼而可得PA⊥BC，然后由BC∥PD，證得DP是⊙O的切線；
（2）連接OB，設PA交BC于點E．由勾股定理，可求得AE的長，易證得△ABE∽△ADP，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得DP的長．

解答：解：（1）當P是BC中點時，DP是⊙O的切線．
理由如下：
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵

PB

=

PC

，
∴

PBA

=

PCA

，
∴PA是⊙O的直徑．
∵

PB

=

PC

，
∴∠1=∠2，
又∵AB=AC，
∴PA⊥BC．
∵DP∥BC，
∴PD⊥AP．
∴DP是⊙O的切線．

（2）連接OB，設PA交BC于點E．
由垂徑定理得，BE=

1

2

BC=6．
在Rt△ABE中，據勾股定理，AE=

AB2-BE2

=

102-62

=8．
設⊙O的半徑為r，則OE=8-r．
在Rt△OBE中，r²=6²+（8-r）²．
解得r=

25

4

．
∵DP∥BC，
∴∠ABE=∠D．
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP．
∴

BE

DP

=

AE

AP

，
即

6

DP

=

8

2× 25 4

，
∴DP=

75

8

．

點評：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．